Tips och lösning till U 5.10

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (7 oktober 2010 kl. 12.09) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Använd voymprodukt för att avgöra om vektorerna är linjärt beroende.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Vid beräkning av volymprodukten får du en tredjegradsekvation. Lös den genom att gissa en rot.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Det är denna volymprodukt du ska beräkna:
 +
<center><math>
 +
\left\{
 +
\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}
 +
\times
 +
\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix}
 +
\right\}\cdot
 +
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix}
 +
=\begin{pmatrix} 2-a \\ 1-2a \\ a^2-1\end{pmatrix}
 +
\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix}.
 +
</math></center>
 +
 
 +
 
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Använd voymprodukt för att avgöra om vektorerna är linjärt beroende.

Tips 2

Vid beräkning av volymprodukten får du en tredjegradsekvation. Lös den genom att gissa en rot.

Tips 3

Det är denna volymprodukt du ska beräkna:

\displaystyle

\left\{ \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix} \right\}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2-a \\ 1-2a \\ a^2-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix}.


Lösning


Vektorerna är linjärt beroende om volymprodukten är noll. Vi behöver därför bestämma \displaystyle a så att volymprodukten blir just lika med noll. Vi har att


\displaystyle

\left\{ \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix} \right\}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2-a \\ 1-2a \\ a^2-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix} =(a-1)(a^2+2a-2).


Vektorerna är alltså linjärt beroende om \displaystyle (a-1)(a^2+2a-2)=0 för \displaystyle a=1, \displaystyle a=-1\pm\sqrt3.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_5.10