Tips och lösning till U 7.4a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (27 oktober 2010 kl. 19.39) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Bestäm <math>A^n</math> för några heltal <math>n</math> för att "gissa" en formel.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
En kvalificerad gissning blir då <center><math>
 +
A^{n-1}=
 +
\begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix}
 +
</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Med hjälp av induktion kan du nu visa att formeln gäller för alla n. Det viktiga induktionssteget innehåller sambandet <center><math>
 +
A^n=AA^{n-1}=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix}
 +
\begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix}
 +
=\begin{pmatrix} 3^n&0\\0&2^n\end{pmatrix}
 +
</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Bestäm \displaystyle A^n för några heltal \displaystyle n för att "gissa" en formel.

Tips 2

En kvalificerad gissning blir då
\displaystyle

A^{n-1}= \begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix}

Tips 3

Med hjälp av induktion kan du nu visa att formeln gäller för alla n. Det viktiga induktionssteget innehåller sambandet
\displaystyle

A^n=AA^{n-1}=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3^n&0\\0&2^n\end{pmatrix}

Lösning


Vi bestämmer \displaystyle A^n för några heltal \displaystyle n, dvs vi multiplicerar matrisen \displaystyle A med sig själv ett antal gånger


\displaystyle

A^2=AA=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3^2&0\\0&2^2\end{pmatrix},


\displaystyle

A^3=AA^2= \begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^2&0\\0&2^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3^3&0\\0&2^3\end{pmatrix},


Fortsätter vi med att multiplicera matrisen \displaystyle A med sig själv \displaystyle n-1 gånger så skulle vi få


\displaystyle

A^{n-1}= \begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix}

samt att


\displaystyle

A^n=AA^{n-1}=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3^n&0\\0&2^n\end{pmatrix}


Observera att raden ovan är det viktigaste steget i ett induktionsbevis för påståendet.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_7.4a