Tips och lösning till U 7.7a
SamverkanLinalgLIU
Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
- | + | Då ska finna en matris <math>A^{-1}</math> så att <math>A^{-1}A=A A^{-1}=E</math>. Både A och dess invers är alltså en 2x2 matris eftersom det endast är kvadratiska matriser som har invers. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
- | + | Ett bra sätt att tänka är att låta kolonnerna i <math>A^{-1}</math> vara <math>X_1</math> | |
+ | och <math>X_2</math>, dvs <math>A^{-1}=(X_1\ X_2)</math>. Vidare låter du kolonnerna i enhetsmatrisen vara <math>E_1</math> resp <math> E_2</math> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
- | + | Du får nu två ekvationssystem som kan skrivas <math>AX_1=E_1</math> och <math>A X_2= E_2</math> eller eller som ett system <math> | |
+ | \left(\begin{array}{rr}1&2\\3&5\end{array}\right|\left. | ||
+ | \begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)</math>. Använd Gausselimination! | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' |
Versionen från 28 oktober 2010 kl. 17.07
Tips 1
Då ska finna en matris \displaystyle A^{-1} så att \displaystyle A^{-1}A=A A^{-1}=E. Både A och dess invers är alltså en 2x2 matris eftersom det endast är kvadratiska matriser som har invers.
Tips 2
Ett bra sätt att tänka är att låta kolonnerna i \displaystyle A^{-1} vara \displaystyle X_1 och \displaystyle X_2, dvs \displaystyle A^{-1}=(X_1\ X_2). Vidare låter du kolonnerna i enhetsmatrisen vara \displaystyle E_1 resp \displaystyle E_2
Tips 3
Du får nu två ekvationssystem som kan skrivas \displaystyle AX_1=E_1 och \displaystyle A X_2= E_2 eller eller som ett system \displaystyle \left(\begin{array}{rr}1&2\\3&5\end{array}\right|\left. \begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right). Använd Gausselimination!
Lösning
En kvadratisk matris \displaystyle A är inverterbar med inversen
\displaystyle A^{-1} om \displaystyle A^{-1}A=A A^{-1}=E.
Om kolonnerna i \displaystyle A^{-1} är \displaystyle X_1
och \displaystyle X_2, dvs \displaystyle A^{-1}=(X_1\ X_2), så får vi att
A A^{-1}=E\Leftrightarrow A (X_1\ X_2)=(E_1\ E_2)
som är två ekvationsystem \displaystyle AX_1=E_1 och \displaystyle A X_2= E_2.
Eftersom det är samma radopertaioner som ska utföras i båda
ekvationssystemen (det är ju samma matris \displaystyle A i båda), så löser vi
de systemen samtidigt. Vi får
\left(\begin{array}{rr}1&2\\3&5\end{array}\right|\left. \begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \{\mbox{rad2-3rad1}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr|rr}1&2\\0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rr|rr} 1&0\\-3&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr|rr}1&0\\0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rr|rr}-5&2\\3&-1\end{array}\right).
Alltså är \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}{-5}&{2}\\{3}&{-1}\end{pmatrix}.