Tips och lösning till U 9.8

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (29 oktober 2010 kl. 16.22) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Vi fortsätter att utnyttja sats 8.17, men nu är determinantens värde beroende av a.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Vi beräknar värdet av den determinant som har vektorerna som kolonner. Som vanligt så skapar vi nollor gärna med hjälp av ngn lämplig etta.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Använd ettan i rad ett för att skapa nollor i kolonn 1. I detta fall finns a i flera rader och kolonner och då kan det bli flera a-värden som gör att determinaten blir noll.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
Rad 25: Rad 25:
har determinant noll.
har determinant noll.
-
Vi skaffar oss två nollor i kolonn 1 med hjälp av kolonnoperationer
+
Vi skaffar oss två nollor i kolonn 1 med hjälp av radoperationer
<center><math>
<center><math>
\begin{array}
\begin{array}

Nuvarande version

Tips 1

Vi fortsätter att utnyttja sats 8.17, men nu är determinantens värde beroende av a.

Tips 2

Vi beräknar värdet av den determinant som har vektorerna som kolonner. Som vanligt så skapar vi nollor gärna med hjälp av ngn lämplig etta.

Tips 3

Använd ettan i rad ett för att skapa nollor i kolonn 1. I detta fall finns a i flera rader och kolonner och då kan det bli flera a-värden som gör att determinaten blir noll.

Lösning


Vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\a\\2-a\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2a\\1\\a-2\end{pmatrix} är linjärt beroende om \displaystyle a väljs så att matrisen \displaystyle \left( \begin{array}{rrr} 1&2&{2a}\\1&a&1\\1&{2-a}&{a-2}\end{array}\right) har determinant noll.

Vi skaffar oss två nollor i kolonn 1 med hjälp av radoperationer

\displaystyle

\begin{array} \left|\begin{array}{rrr} 1&2&{2a}\\1&a&1\\1&{2-a}&{a-2}\end{array}\right| &=&\left| \begin{array}{rrr} 1&2&{2a}\\0&a-2&1-2a\\0&{-a}&{-a-2}\end{array}\right|\\ 

               &=&(-1)^{(1+1)}\cdot 1 \cdot \left| \begin{array}{rr}  a-2& 1-2a \\ -a &  -a-2\end{array}\right|\\
                                           &=& -3a^2+a+4=(a+1)(-3a+4)=0

\end{array}

för \displaystyle a=-1,4/3 . Vektorerna är alltså linjärt beroende om \displaystyle a=-1,4/3 .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_9.8