6.8 Lokala extrempunkter: nödvändiga villkor
SamverkanFlervariabelanalysLIU
6.1 | 6.2 | 6.3 | 6.4 | 6.5 | 6.6 | 6.7 | 6.8 |
Innehåll |
Övning 7.8.1
Avgör med hjälp av definitionen om följande funktioner har lokalt maximum, lokalt minimum eller en sadelpunkt i origo.
a) \displaystyle f(x,y)=f(x,y)=\cos(x^2+y^2)
b) \displaystyle f(x,y)=x^5+y^6
c) \displaystyle f(x,y,z)=xyz
Övning 7.8.2
Avgör karaktären hos följande kvadratiska former
a) \displaystyle Q(h,k)=h^2+hk+k^2
b) \displaystyle Q(h,k)=hk
c) \displaystyle Q(h,k)=h^2+6hk-k^2
Övning 7.8.3
Avgör karaktären hos följande kvadratiska former
a) \displaystyle Q(h,k,l)=h^2+k^2
b) \displaystyle Q(h,k,l)=h^2+2k^2+2l^2+2hl-2hk+4kl
c) \displaystyle Q(h,k,l)=(h-k)^2+(k-l)^2-(l-h)^2
Övning 7.8.4
Bestäm alla lokala extrempunkter till funktionerna
a) \displaystyle f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2
b) \displaystyle f(x,y)=xe^{y}-e^{x}
c) \displaystyle f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)/2}
Övning 7.8.5
Bestäm alla lokala extrempunkter till funktionerna
a) \displaystyle f(x,y)=x\sin y
b) \displaystyle f(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2}
c) \displaystyle f(x,y,z)=xy+xz
Övning 7.8.6
Visa att en harmonisk funktion \displaystyle f, d.v.s. \displaystyle f''_{xx}+f''_{yy}=0, som inte är konstant inte kan ha lokala maximi eller minimipunkter, utan endast sadelpunkter.