6.4 Kedjeregeln
SamverkanFlervariabelanalysLIU
6.1 | 6.2 | 6.3 | 6.4 | 6.5 | 6.6 | 6.7 | 6.8 |
Innehåll |
Övning 7.4.1
Betrakta funktionen \displaystyle f(x,y)=\sin(x^2y)+e^{x-y} och den sammansatta funktionen \displaystyle g(t)=f(t,t^2).
a) Beräkna \displaystyle g'(t) genom att bestämma \displaystyle g(t) explicit och sedan derivera.
b) Beräkna \displaystyle g'(t) med hjälp av kedjeregeln.
Övning 7.4.2
Givet ett variabelbyte, \displaystyle u=2x+3y och \displaystyle v=x.
a) Beräkna \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} och \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}. Är\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}=1?
b) Låt \displaystyle f vara en differentierbar funktion. Uttryck \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} med hjälp av \displaystyle f'_u och \displaystyle f'_v. Hur kan \displaystyle f'_x\not= f'_v då \displaystyle x=v?
Övning 7.4.3
Betrakta den partiella differentialekvationen \displaystyle z'_x-z'_y=0
a) Verifiera att \displaystyle z=\sin x\sin y-\cos x\cos y är en lösning till ekvationen
b) Visa att alla funktioner på formen \displaystyle z=f(x+y) är lösningar till ekvationen. Är funktionen i a. av denna form? I så fall vad är \displaystyle f?
Övning 7.4.4
Visa att funktionen \displaystyle z(x,y)=f(x^2-y^2,2xy) är harmonisk om \displaystyle f är harmonisk.
Övning 7.4.5
Betrakta den partiella differentialekvationen \displaystyle 2z'_x+3z'_y=0
a) Förenkla differentialekvationen genom variabelbytet \displaystyle u=x, \displaystyle v=3x-2y
b) Lös den partiella differentialekvationen
Övning 7.4.6
Bestäm alla \displaystyle \mathcal{C}^1-funktioner \displaystyle z som uppfyller den partiella differentialekvationen
\displaystyle x^2z'_x-z'_y=0, \quad x>0
med hjälp av variabelbytet \displaystyle u=x, \displaystyle v=\frac{1}{x}-y.
Övning 7.4.7
Givet att \displaystyle z\in\mathcal{C}^1, lös den partiella differentialekvationen
\displaystyle yz'_{x}-xz'_{y}=xyz.
där \displaystyle x>0 och \displaystyle y>0, genom att utnyttja variabelbytet \displaystyle u=x^{2}+y^{2}, \displaystyle v=e^{-x^{2}/2}.
Övning 7.4.8
Betrakta den partiella differentialekvationen \displaystyle 6z''_{xx}-5z''_{xy}+z''_{yy}=2x,
a) Visa att man kan välja \displaystyle a och \displaystyle b så att variabelbytet \displaystyle u=x+ay,\displaystyle v=x+by överför differentialekvationen i en ekvation på formen \displaystyle z''_{uv}=h(u,v). Vi förutsätter att \displaystyle z(x,y)\in \mathcal{C}^2
b) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen som är \displaystyle \mathcal{C}^2-funktioner \displaystyle z(x,y).
Övning 7.4.9
Givet att \displaystyle z\in\mathcal{C}^2 lös den partiella differentialekvationen \displaystyle xz''_{xy}+yz''_{yy}=\frac{x}{y^{2}}, där \displaystyle x>0 och \displaystyle y>0, genom att utnyttja variabelbytet \displaystyle u=x, \displaystyle v=\frac{x}{y}.
Övning 7.4.10
Vågekvationen är \displaystyle z''_{tt}=c^2z''_{xx}. Använd variabelbytet \displaystyle u=x+ct, \displaystyle v=x-ct för att få ekvationen på en enklare form. Bestäm sedan den allmänna lösningen till ekvationen. Vi förutsätter att \displaystyle z(x,t)\in \mathcal{C}^2.