6.1 Partiella derivator
SamverkanFlervariabelanalysLIU
6.1 | 6.2 | 6.3 | 6.4 | 6.5 | 6.6 | 6.7 | 6.8 |
Innehåll |
Övning 7.1.1
Beräkna de partiella derivatorna \displaystyle f'_x och \displaystyle f'_y då
a) \displaystyle f(x,y)=x+xy^3+x^5y^2+y^4.
b) \displaystyle f(x,y)=(x^2y^3+y)^3.
c) \displaystyle f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}.
Övning 7.1.2
Beräkna de partiella förstaderivatorna då
a) \displaystyle f(x,y)=e^{x^2}\arctan (xy).
b) \displaystyle f(x,y)=x^y.
c) \displaystyle f(x,y,z)=z\arctan\frac{y}{x}.
Övning 7.1.3
Beräkna de partiella förstaderivatorna då (\displaystyle \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}))
a) \displaystyle f(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|.
b) \displaystyle f(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|^{2}.
c) \displaystyle f(\mathbf{x})=\ln (1+|\mathbf{x}|).
Övning 7.1.5
Verifiera att \displaystyle f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}löser den partiella differentialekvationen \displaystyle yf'_{x}-xf'_{y}=0
Övning 7.1.6
Laplaces ekvation i planet är \displaystyle z''_{xx}+z''_{yy}=0. Funktioner \displaystyle z(x,y) som uppfyller Laplaces ekvation kallas harmoniska. Verifiera att följande funktioner är harmoniska.
a) \displaystyle f(x,y)=5(x^2-y^2)+4xy +3x+2y.
b) \displaystyle f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} då \displaystyle (x,y)\not= (0,0).
c) \displaystyle f(x,y)=\arctan (y/x) då \displaystyle x\not= 0.
Övning 7.1.7
Bestäm alla funktioner \displaystyle f(x,y) sådana att
a) \displaystyle \begin{cases} f'_x = 3x+y\\f'_y = x+3y \end{cases} .
b) \displaystyle \begin{cases} f'_x=\frac{y}{x^2+y^2}\\ f'_y=-\frac{x}{x^2+y^2} \end{cases} .
c) \displaystyle \begin{cases} f'_x=\sin(xy)\\ f'_y=\sin(x+y)\end{cases} .
Övning 7.1.8
Bestäm alla funktioner \displaystyle f(x,y) sådana att
a) \displaystyle f'_x=0 .
b) \displaystyle f''_{xx}=0 .
c) \displaystyle f''_{xy}=0.
Övning 7.1.9
Bestäm alla funktioner \displaystyle f(x,y) sådana att
a) \displaystyle f'_{x}=2xy.
b) \displaystyle f''_{xy}=\sin x.
c) \displaystyle f'''_{xyx}=0.
Övning 7.1.10
Givet \displaystyle f(x,y)= \begin{cases}\frac{xy^3}{x^2+y^2} &\mbox{då } (x,y)\not= (0,0)\\ 0 & \mbox{då }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Visa att \displaystyle f''_{xy}(0,0) och \displaystyle f''_{yx}(0,0) båda existerar och \displaystyle f''_{xy}(0,0)\not= f''_{yx}(0,0).