20.2 Andragradskurvor

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 15: Rad 15:
__TOC__
__TOC__
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.23===
 +
Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen
 +
<center><math>
 +
Q=x_1^2+\sqrt3x_1x_2+2x_2^2
 +
</math></center>
 +
på enhetscirkeln <math> x_1^2+x_2^2=1 </math> och ange i vilka punkter extremvärdena antas.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.23|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.23}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.24===
 +
Låt <math> d </math> vara avståndet från en punkt på kurvan
 +
<center><math>
 +
3x_1^2+4x_1x_2=9
 +
</math></center>
 +
till origo. Rita kurvan i ett väl valt koordinatsystem. Vilka värden kan <math> d </math> anta? I förekommande fall ange de
 +
punkter där <math> d </math> antar sitt största respektive minsta värde.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.24|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.24}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.25===
 +
Beskriv kurvan
 +
<center><math>
 +
17x_1^2-12x_1x_2+8x_2^2=20.
 +
</math></center>
 +
Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.25|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.25}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 22.26===
 +
Visa att andragradskurvan i <math> {\bf R}^2 </math>, definierad av
 +
<center><math>
 +
x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1
 +
</math></center>
 +
betyder en ellips.
 +
 +
Ange också ellipsens area. Det anses känt att ellipsen <math> \frac{x^2_1}{a^2}+\frac{x^2_2}{b^2}=1 </math> har arean <math> \pi ab </math>.
 +
 +
Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.26|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.26}}

Versionen från 7 december 2010 kl. 15.09

       20.1          20.2          20.3          20.4      


Läs textavsnitt 20.2 Andragradskurvor.

Du har nu läst om andragradskurvor och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.


Innehåll

Övning 22.23

Bestäm största och minsta värde av den kvadratiska formen

\displaystyle

Q=x_1^2+\sqrt3x_1x_2+2x_2^2

på enhetscirkeln \displaystyle x_1^2+x_2^2=1 och ange i vilka punkter extremvärdena antas.



Övning 22.24

Låt \displaystyle d vara avståndet från en punkt på kurvan

\displaystyle

3x_1^2+4x_1x_2=9

till origo. Rita kurvan i ett väl valt koordinatsystem. Vilka värden kan \displaystyle d anta? I förekommande fall ange de punkter där \displaystyle d antar sitt största respektive minsta värde.



Övning 22.25

Beskriv kurvan

\displaystyle

17x_1^2-12x_1x_2+8x_2^2=20.

Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.



Övning 22.26

Visa att andragradskurvan i \displaystyle {\bf R}^2 , definierad av

\displaystyle

x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1

betyder en ellips.

Ange också ellipsens area. Det anses känt att ellipsen \displaystyle \frac{x^2_1}{a^2}+\frac{x^2_2}{b^2}=1 har arean \displaystyle \pi ab .

Ange de punkter på kurvan som ligger närmast respektive längst bort från origo.