1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Die Definition der Ableitung
  • Die Ableitungen von \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x.
  • Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
  • Tangenten und Normalen.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(a) der Funktion \displaystyle f ist die Steigung des Graphen von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x = a.
  • Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion.
  • Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion \displaystyle f(x)=\vert x\vert an der Stelle \displaystyle x=0).
  • Wie man \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x sowie Summen und Differenzen davon ableitet.
  • Wie man die Tangente und die Normale einer Funktion bestimmt.
  • Die Ableitung von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x_0 wird mit \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) oder \displaystyle \frac{df}{dx}(x_0) bezeichnet.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder fallend ist und wie steil sie ist.

Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte des Graphen, kann man die Sekantensteigung \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} berechnen

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in @(i)x@(/i)}}.

Beispiel 1

Die linearen Funktionen \displaystyle f(x)=x und \displaystyle g(x)=-2x haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich \displaystyle 1 und \displaystyle −2.


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Graph von f(x) = x hat die Steigung  1. Graph von g(x) = - 2x hat die Steigung  - 2.


Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.

Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach t Stunden s= 80 t km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also \displaystyle s(t)=80 t. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.

Beispiel 2

Für die Funktion \displaystyle f(x)=4x-x^2 gilt, dass \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 und \displaystyle f(4)=0. Also sind \displaystyle (1,3), (2,4) und \displaystyle (4,0) Punkte des Graphen von \displaystyle f .

  1. Die Steigung der Sekante durch die Punkte \displaystyle (1,3) und \displaystyle (2,4) ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{2-1} = \frac{1}{1}=1\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu.
  2. Die Sekantensteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}

    = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}

    und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.
  3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantensteigung
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}

    = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}

    Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

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Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.


B - Definition der Ableitung

Um die momentane Steigung in einen Punkt P\displaystyle =(x,f(x)) zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen P und Q:

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Sekantensteigung

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}

= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}

Wenn wir den Punkt Q immer näher dem Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von \displaystyle f im Punkt P oder (weil \displaystyle P=(x,f(x)) ) an der Stelle \displaystyle x .

Die Ableitung von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x schreibt man als \displaystyle f^{\,\prime}(x). Sie ist definiert als:

\displaystyle f^{\,\prime}(x)

= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Wenn für ein \displaystyle x_0 der Grenzwert \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existiert, sagt man, dass die Funktion \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x=x_0 differenzierbar ist.

Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für \displaystyle h nach Null", den man als \displaystyle \lim_{h \to 0} schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von \displaystyle h gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass \displaystyle h immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.

Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.

Funktion Ableitung
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle s^{\,\prime}(t)

C - Das Vorzeichen der Ableitung

Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion fallend oder steigend ist:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positive Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) steigend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negative Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) fallend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (Ableitung ist null) bedeutet, dass \displaystyle f(x) waagerecht ist.


Beispiel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 die Steigung der Funktion \displaystyle 3 ist.

Beispiel 4

Aus der Abbildung sehen wir, dass

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

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Beachte den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t Minuten ist gegeben. Wir erklären \displaystyle T(t) und \displaystyle T^\prime(t) umgangssprachlich.

  1. \displaystyle T(0)=85 : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.
  2. \displaystyle T(10)=80 : Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.
  3. \displaystyle T'(2)=-0{,}3 : Zum Zeitpunkt \displaystyle t=2 nimmt die Temperatur \displaystyle 0{,}3^\circ pro Minute ab.
    (Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist an der Stelle \displaystyle x=0 nicht differenzierbar, da rechts von 0 die Steigung der Tangente 1 beträgt während links von 0 die Steigung der Tangente -1 beträgt . Man kann also die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) nicht bestimmen (Siehe Abbildung).

Man kann auch sagen, dass \displaystyle f^{\,\prime}(0) nicht existiert oder nicht definiert ist.

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Graph der Funktion f(x) = |x|

D - Ableitungen von Funktionen

Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.


Beispiel 7

Wenn \displaystyle f(x)=x^2 ist, ist laut der Definition der Ableitung

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}

= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

Lassen wir \displaystyle h sich Null nähern, erhalten wir \displaystyle 2x. Also ist die Steigung der Funktion \displaystyle y=x^2, \displaystyle 2x an der Stelle x. Also ist die Ableitung von \displaystyle x^2, \displaystyle 2x.

Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:

Funktion Ableitung
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x

Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;

\displaystyle (f(x) +g(x))^{\,\prime}

= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Und, wenn k eine Konstante ist, ist

\displaystyle (k \, f(x))^{\,\prime}

= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Beispiel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad ergibt \displaystyle \quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad ergibt \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad ergibt \displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad ergibt \displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

Die Funktion \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} hat die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}

= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

Also ist zum Beispiel \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} und \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0. Die Ableitung \displaystyle f'(0) ist aber nicht definiert.

Beispiel 11

Ein Gegenstand bewegt sich so wie \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, wo \displaystyle s(t) km die Strecke des Gegenstandes nach \displaystyle t Stunden ist. Berechnen Sie \displaystyle s'(3) und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.

Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad

\text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}

Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.

Beispiel 12

Die Gesamtkosten \displaystyle T in Euro für die Herstellung von \displaystyle x Gegenständen sind

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad

\text{für} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Berechne und erkläre folgende Ausdrücke

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,.
    Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro.


  2. \displaystyle T'(120)

    Die Ableitung ist \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x und daher ist
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120

    \approx 348\textrm{.}

    Die Marginalkosten (die Kosten für die Produktion einer extra Einheit) von 120 produzierten Gegenständen sind ungefähr 348 Euro.


E - Tangenten und Normalen

Eine Tangente ist eine Gerade, die tangential zum Graphen ist.

Eine Normale ist die Gerade, die orthogonal zur Tangente ist: Die Tangente und die Normale bilden einen rechten Winkel.

Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt ihrer Steigungen immer \displaystyle –1. Wenn also die Steigung der Tangente \displaystyle k_T ist, und die Steigung der Normalen \displaystyle k_N ist, ist \displaystyle k_T \, k_N = -1. Damit kann man die Geradengleichung der Normalen aufstellen.


Beispiel 13

Bestimme die Tangente der Funktion \displaystyle y=x^2 + 1 im Punkt \displaystyle (1,2).

Wir schreiben die Gleichung der Tangente \displaystyle y = kx + m. Nachdem die Gerade die Kurve bei \displaystyle x=1 berührt, ist \displaystyle k= y'(1), also

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2.

Nachdem die Tangente durch den Punkt \displaystyle (1,2) geht, haben wir

\displaystyle 2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad

m = 0.

Die Tangente ist also \displaystyle y=2x.

Die Steigung der Normalen ist \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt \displaystyle (1, 2), und daher ist

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m

\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

Die Normale ist also \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.


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Tangente \displaystyle y=2x Normale \displaystyle y=\frac{5-x}{2}


Beispiel 14

Die Kurve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x hat eine Tangente mit der Steigung \displaystyle –1. Bestimme die Stelle, wo die Kurve die Tangente berührt.

Die Ableitung ist \displaystyle y' = 2 \, e^x -3 und an der gesuchten Stelle muss die Ableitung \displaystyle -1 sein, also \displaystyle y' = -1. Wir erhalten dadurch

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

mit der Lösung \displaystyle x=0. An der Stelle \displaystyle x=0 hat die Kurve den \displaystyle y-Wert \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2, und daher ist der tangentiale Punkt \displaystyle (0,2).

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