1.2 Ableitungsregeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Inhalt:
- Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches von Funktionen
- Die Ableitung verketteter Funktionen
- Höhere Ableitungen
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
- Wie man prinzipiell jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableitet.
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
A - Die Produkt- und Quotientenregel
Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten:
Produkt- und Quotientenregel:
| \displaystyle \begin{align*}
\bigl( f(x) \, g(x) \bigr)^\prime &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \\[8pt] \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)^{\,\prime} &= \frac{f^{\,\prime}(x)\, g(x) - f(x)\, g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} |
Dieselbe Regel in einer anderen Notation:
| \displaystyle \begin{align*} \frac{d}{dx}\,\bigl(\,f(x) \, g(x) \bigr) &= \bigl(\, \frac{d}{dx}\,f(x) \, \bigr) \, g(x) + f(x) \,\bigl(\,\frac{d}{dx}\, g(x) \bigr) \\[8pt]
\frac{d}{dx}\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{\bigl( \frac{d}{dx}\,f(x) \bigr)\, g(x) - f(x)\, \bigl(\, \frac{d}{dx}\,g(x) \, \bigr)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} |
Beispiel 1
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,(x^2 e^x) = 2x\, e^x + x^2\, e^x
= (2x +x^2)\,e^x\,.
- \displaystyle (x \sin x)^\prime = (x)^\prime \cdot \sin x + x\,(\sin x)^\prime = 1 \cdot \sin x + x\,\cos x
= \sin x + x \cos x\,.
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\, \frac{1}{x} - 1
= \ln x + 1 -1 = \ln x\,.
- \displaystyle (\tan x)^\prime = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^\prime
= \frac{ \cos x \, \cos x
- \sin x \, (-\sin x)}{(\cos x)^2}
= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x}
= \frac{1}{\cos^2 x}\,.
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}
= \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x}
- (1+x) \, \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2}
= \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}
- \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x}
= \frac {\displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x}
= \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,.
- \displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x} &= \frac{(1\cdot e^x + x\, e^x)(1+x) - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} \\ &= \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2} \end{align}\,.
B - Ableitung von verketteten Funktionen
Die Funktion \displaystyle y(x)=f(g(x)) besteht aus einer inneren Funktion \displaystyle g und einer äußeren Funktion \displaystyle f . Um \displaystyle y(x) an einer Stelle \displaystyle x=x_0 zu berechnen, berechnet man zuerst \displaystyle g(x_0) und berechnet dann \displaystyle f(u_0) mit \displaystyle u_0 = g(x_0) . Eine solche Funktion y heisst auch verkettete Funktion und man schreibt \displaystyle y = f \circ g und spricht "f kringel g" oder "f nach g".
Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.
| \displaystyle y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr)
\, g'(x)\,\mbox{.} |
Genau wie man sagt, dass die verkettete Funktion y aus einer äußeren Funktion f und einer inneren Funktion g besteht, sagt man auch, dass die Ableitung \displaystyle y^{\,\prime} das Produkt der äußere Ableitung \displaystyle f^{\,\prime} und der inneren Ableitung \displaystyle g' ist.
In einer anderen Notation lautet die Kettenregel:
| \displaystyle \frac{d}{dx} y(x) = \frac{d}{du} f(u) \Big|_{u=g(x)} \, \frac{d}{dx} g(x)\,\mbox{.} |
Nennen wir \displaystyle y=f(u) und \displaystyle u=g(x), verkürzt sich die Kettenregel zu
| \displaystyle \frac{dy}{dx}
= \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}\,\mbox{.} |
Beispiel 2
\displaystyle y(x)=(x^2 + 2x)^4 ist eine verkettete Funktion. Wir benutzen die verkürzte Kettenregel:
| \displaystyle y=u^4 | die äußere Funktion und | \displaystyle u=x^2+2x | die innere Funktion. |
| \displaystyle \dfrac{dy}{du}=4u^3 | die äußere Ableitung und | \displaystyle \dfrac{du}{dx}=2x+2 | die innere Ableitung. |
Die Ableitung der Funktion y in Bezug auf x ist durch die Kettenregel gegeben
| \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}
= 4 u^3 \, (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \, (2x +2)\,\mbox{.} |
Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man sagt einfach
| \displaystyle (\text{Äußere Ableitung})
\, (\text{Innere Ableitung})\,\mbox{.} |
Vergiss nicht, die Produkt-und Quotientenregeln falls notwendig anzuwenden.
Beispiel 3
- \displaystyle y(x) = \sin (3x^2 + 1)
\displaystyle \begin{array}{llll} \text{Äußere Funktion:} & f(u) = \sin u & \text{Äußere Ableitung:} & f^{\, \prime}(u) = \cos (u)\\ \text{Innere Funktion:} & g(x) = 3 x^2 +1 & \text{Innere Ableitung:} & g^{\, \prime}(x) = 6x \end{array}
\displaystyle \begin{align} y(x) &= f( g(x)) \\ y^{\,\prime}(x) &= f^{\, \prime}(g(x)) \, g^{\, \prime} (x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos (3x^2 +1) \end{align} - \displaystyle y = 5 \, e^{x^2}
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Äußere Ableitung:} & 5\,e^{x^2}\\ \text{Innere Ableitung:} & 2x \end{array}
\displaystyle y' = 5 \, e^{x^2} \, 2x = 10x\, e^{x^2}
- \displaystyle f(x) = e^{x\, \sin x}
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\ \text{Innere Ableitung:} & 1\cdot \sin x + x \cos x \end{array}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)
- \displaystyle s(t) = t^2 \cos (\ln t)
\displaystyle s'(t) = 2t \, \cos (\ln t) + t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t) - \displaystyle \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x
= \frac{d}{dx}\,e^{x\ln a}
= e^{x\ln a} \, \ln a
= a^x \, \ln a
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x } = e^{a \, \ln x} \cdot a \, \frac{1}{x} = x^a \cdot a \, x^{-1} = ax^{a-1}
Die Kettenregel kann mehrmals angewendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion \displaystyle y(x) = f \bigl( g(h(x))\bigr) die Ableitung
| \displaystyle y'(x)= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr)
\, g'(h(x)) \, h'(x)\,\mbox{.} |
Beispiel 4
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^3 2x = \frac{d}{dx}\,(\sin 2x)^3
= 3(\sin 2x)^2 \, \frac{d}{dx}\,\sin 2x
= 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x - \displaystyle \left( \,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)\, \right)^{\, \prime}
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
\,\left(\,(x^2 -3x)^4 \, \right)^{\, \prime}
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\left( \,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) \, \right)^{\, \prime} }{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \,\left( \,(x^2-3x) \, \right)^{\, \prime} \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \, (2x-3) - \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)
= \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \, \frac{d}{dx}\,\sin(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x) \, \frac{d}{dx}(x^2 -3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3) - \displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}}
\, \frac{d}{dx}\,(x^3-1)
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}
C - Höhere Ableitungen
Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.
Die zweite Ableitung schreibt man meistens \displaystyle f^{\, \prime \, \prime}, während man die dritte Ableitung als \displaystyle f^{\,(3)} schreibt, die vierte als \displaystyle f^{\,(4)} etc.
Mann kann auch \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f oder \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots schreiben.
Beispiel 5
- \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) - \displaystyle y = \sin x\,\cos x
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x - \displaystyle \frac{d}{dx}\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
= e^x (\sin x + \cos x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x) = \frac{d}{dx}\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\bigl(}
\displaystyle \frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
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