3.3 Potenzen und Wurzeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Inhalt:
- Der Moivresche Satz
- Quadratische Gleichungen
- Exponentialfunktionen
- Quadratische Ergänzung
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
- Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst.
- Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt.
- Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt.
- Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
A - Moivrescher Satz
Die Rechenregeln 
zw=zw
 arg(z z)=argz+argzzz=zzargz3=3argzz3=z3etc. |
Für eine beliebige komplexe Zahl 
+isin)
 r(cos+isin) n=rn(cosn+isinn). |
Falls z=1
| +isin)n=cosn+isinn. |
Diese Regel nennt man den Moivreschen Satz. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.
Beispiel 1
Bestimme 
21+i
Wir schreiben 2+i2=1
cos
4+isin4
| cos4+isin43=cos43+isin43=−12+12i=2−1+i=cos4+isin4100=cos4100+isin4100=cos25+isin25=cos+isin=−1. |
Beispiel 2
Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:
aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:
Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten
| cos2vsin2v=cos2v−sin2v,=2sinvcosv. |
Beispiel 3
Vereinfache 3+i)14(1+i3)7(1+i)10
Wir schreiben die Zahlen 3+i 3
1+i ,3=2cos3+isin3 1+i= .2cos4+isin4
Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir
| 3+i)14(1+i3)7(1+i)10=214cos614+isin61427cos37+isin37(2)10cos410+isin410 |
Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden
| cos629+isin629214cos614+isin614=22cos−615+isin−615=4cos−2+isin−2=−4i. |
B - nte Wurzeln von komplexen Zahlen
Eine komplexe Zahl
Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.
Ist eine Zahl w(cos
+isin)+isin)
| +isinn)=w(cos+isin), |
wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
| rnn=w,=+k2. |
Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von
r= nw =(+2k) nk=0 12... |
Wir erhalten also einen Wert für
Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um n
nw
Beispiel 4
Löse die Gleichung
Wir schreiben
z=r(cos ,+isin)16i=16 .cos2+isin2
Die Gleichung
| +isin4)=16cos2+isin2. |
Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
r44=16=2+k2d.h.r=416=2=8+k2k=0123 |
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Die Wurzeln der Gleichung sind daher
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![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/6/b/9/6b9221f9f7b01fe26ab79402492dcd48.png)
C - Exponentialform der komplexen Zahlen
Wenn wir
| )=r(cos+isin) |
und wir erhalten durch wiederholte Ableitung
 ()f()=−rsin+ricos=ri2sin+ricos=ir(cos+isin)=if()=−rcos−risin=i2r(cos+isin)=i2f()etc. |
Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form
 =cos+isin. |
Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir
Die Definition von +isin)=rei
Beispiel 5
Für eine reelle Zahl i
 i=ea(cos0+isin0)=ea1=ea. |
Beispiel 6
Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.
| ein=(cos+isin)n=cosn+isinn=ein |
Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.
| axy=axy |
Beispiel 7
Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel
 i=cos+isin=−1 |
Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.
Beispiel 8
Löse die Gleichung
Wir lassen
w=r(cos +isin)=rei,−8i=8 cos23+isin23=8e3i
2.
In Polarform lautet die Gleichung i=8e3i2
r33=8,=32+2k, r=38,=2+2k3k=012. |
Die Wurzeln der Gleichung sind daher
w1=2e i2=2cos2+isin2=2i, w2=2e7 i6=2cos67+isin67=−3−i, w3=2e11 i6=2cos611+isin611=3−i,
also sind 3−2i 3−2i
Beispiel 9
Löse die Gleichung
Wenn für z=rz=r
| )2=re−ioderr2e2i=re−i. |
Wir sehen direkt, dass 
=0=1
| r3=1,=0+2k,r=1,=2k3,k=012. |
Die Wurzeln sind also
z1=e0=1, z2=e2 i3=cos32+isin32=−21+23i,z3=e4 i3=cos34+isin34=−21−23i, z4=0.
D - Quadratische Ergänzung
Die wohlbekannten Regeln
| (a+b)2(a−b)2=a2+2ab+b2=a2−2ab+b2 |
können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel
| \displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*} |
Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel
| \displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*} |
Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} und, dass \displaystyle x=-2\pm 3 und daher \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=-5.
Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung
| \displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.} |
Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form
| \displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*} |
Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man quadratische Ergänzung.
Beispiel 10
- Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,.
Der Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -6 und daher müssen wir die Zahl \displaystyle (-3)^2=9 als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir\displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*} Wir erhalten also \displaystyle x-3=\pm 2. Daher ist \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=5.
- Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,.
Die Gleichung kann wie \displaystyle z^2+8z+17=0 geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir\displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align*} und daher ist \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. Also sind die Wurzeln \displaystyle z=-4-i und \displaystyle z=-4+i.
Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des x-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.
Beispiel 11
Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.
Der halbe Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Also müssen wir \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} auf beiden Seiten addieren
| \displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*} |
Wir sehen, dass \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} und erhalten dadurch, dass \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, also \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} oder \displaystyle x=3.
Beispiel 12
Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
| \displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*} |
Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen
| \displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.} |
Beispiel 13
Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.
Der halbe Koeffizient von \displaystyle z ist \displaystyle -(6+2i). Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung
| \displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.} |
Erweitern wir die rechte Seite \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir
| \displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*} |
Wir erhalten \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ und daher die Wurzeln \displaystyle z=12+2i und \displaystyle z=2i.
Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Das Ziel dabei ist, dass die Variable nur noch in der quadrierten Klammer steht, und nicht mehr außerhalb. Zum Beispiel
| \displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*} |
Beispiel 14
Ergänze \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\, quadratisch.
Wir subtrahieren und addieren \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\, vom Ausdruck,
| \displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*} |
E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel
Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie \displaystyle \sqrt{a+ib} entstehen. Man kann dann annehmen, dass
| \displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.} |
Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir
| \displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*} |
Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir
| \displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right. |
Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man \displaystyle y= b/(2x) in der ersten Gleichung ersetzt.
Beispiel 15
Berechne \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.
Wir nehmen an, dass \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ , wobei \displaystyle x und \displaystyle y reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir
| \displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align*} |
und wir erhalten die beiden Gleichungen
| \displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*} |
Von der zweiten Gleichung erhalten wir \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ . Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt
| \displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.} |
Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle x^2, die wir am einfachsten lösen, indem wir \displaystyle t=x^2 substituieren
| \displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.} |
Die Lösungen sind \displaystyle t = 1 und \displaystyle t = -4. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da \displaystyle x und \displaystyle y reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen \displaystyle x=\pm\sqrt{1} und dadurch
- \displaystyle \ x=-1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
- \displaystyle \ x=1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.
Also ist
| \displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*} |
Beispiel 16
- Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.
Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)\displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.} - Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}
Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten\displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*} - Löse die Gleichung \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}
Division auf beiden Seiten durch \displaystyle i ergibt\displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*} Durch die Lösungsformel erhalten wir
\displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align*} indem wir das Beispiel 15 verwenden, um \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ zu erhalten. Die Lösungen sind daher
\displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}
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