2.3 Partielle Integration
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Inhalt:
- Partielle Integration.
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
- Wie die partielle Integration hergeleitet wird.
- Wie man Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, löst.
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
A - Partielle Integration
Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn \displaystyle u und \displaystyle v zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung
| \displaystyle D\,(\,u\, v) = \left( D\, u \right) \, v + u \, D \, v |
oder in einer anderen Notation (= Schreibweise)
| \displaystyle \left( \,u \, v \right)^{\, \prime} = u^{\,\prime} \, v + u \, v^{\, \prime} \,\mbox{.} |
Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir
| \displaystyle u \, v = \int (\,u v)^{\,\prime} \,dx = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx |
und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.
Partielle Integration:
| \displaystyle \int u \, v'\,dx = u \, v - \int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{.} |
Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral \displaystyle \,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ einfacher zu berechnen ist als \displaystyle \,\int u \, v'\,dx\ . Hier ist \displaystyle v eine beliebige Stammfunktion von \displaystyle v' (vorzugsweise die einfachste) und \displaystyle u' ist die Ableitung von \displaystyle u.
Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion \displaystyle u sein soll und welche \displaystyle v' sein soll. Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgeht.
Beispiel 1
Bestimme das Integral \displaystyle \,\int x \, \sin x \, dx\,.
Wenn wir \displaystyle u=\sin x und \displaystyle v'=x wählen, erhalten wir \displaystyle u'=\cos x und \displaystyle v=x^2/2 und es ergibt sich durch die Formel für partielle Integration
| \displaystyle \int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.} |
Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Integral.
Wenn wir aber \displaystyle u=x und \displaystyle v'=\sin x wählen, wird \displaystyle u'=1 und \displaystyle v=-\cos x,
| \displaystyle \int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.} |
Beispiel 2
Bestimme das Integral \displaystyle \ \int x^2 \, \ln x \, dx\,.
Wir wählen \displaystyle u=\ln x und \displaystyle v'=x^2, da wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen können. Nachdem \displaystyle u'=1/x und \displaystyle v=x^3/3, erhalten wir
| \displaystyle \begin{align*}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*} |
Beispiel 3
Bestimme das Integral \displaystyle \ \int x^2 e^x \, dx\,.
Wir wählen \displaystyle u=x^2 und \displaystyle v'=e^x, daher ist \displaystyle u'=2x und \displaystyle v=e^x. Durch partielle Integration erhalten wir
| \displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.} |
Wir müssen hier noch einmal partielle Integration anwenden, um das Integral \displaystyle \,\int 2x\,e^x \, dx zu berechnen. Hier wählen wir \displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^x, daher ist \displaystyle u'=2 und \displaystyle v=e^x
| \displaystyle \int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.} |
Das ursprüngliche Integral ist
| \displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.} |
Beispiel 4
Bestimme das Integral \displaystyle \ \int e^x \cos x \, dx\,.
Wir integrieren den Faktor \displaystyle e^x und leiten den Faktor \displaystyle \cos x ab,
| \displaystyle \begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*} |
Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration, indem wir den Faktor \displaystyle e^x integrieren und den Faktor \displaystyle \sin x ableiten.
| \displaystyle \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.} |
Hier erscheint wieder unser ursprüngliches Integral.
Wir haben also
| \displaystyle \int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx |
Sammeln wir alle Integrale auf der linken Seite, so erhalten wir
| \displaystyle \int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.} |
Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, mit der wir unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.
Beispiel 5
Bestimme das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,.
Das Integral kann als
| \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{} |
geschrieben werden. Wählen wir \displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^{-x}, erhalten wir durch partielle Integration
| \displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*} |
Beispiel 6
Bestimme das Integral \displaystyle \ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,.
Zuerst machen wir die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x}, wodurch wir \displaystyle du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u erhalten. Also ist \displaystyle dx = 2u\,du\, und wir erhalten das Integral
| \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.} |
Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor \displaystyle \ln u ab und integrieren den Faktor \displaystyle 2u
| \displaystyle \begin{align*}\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*} |
Hinweis: Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als \displaystyle \ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x zu schreiben und die Produkte \displaystyle \tfrac{1}{2}\,\ln x mit partieller Integration zu integrieren.
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