1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Kurven zeichnen
  • Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Die Definitionen von monoton steigend, streng monoton steigend, monoton fallend, streng monoton fallend, lokales Maximum, globales Maximum, lokales Minimum und globales Minimum.
  • Wenn \displaystyle f^{\,\prime}>0 ist, dann ist \displaystyle f streng monoton steigend und wenn \displaystyle f^{\,\prime}<0 ist, dann ist \displaystyle f streng monoton fallend.
  • Wie man stationäre Stellen findet und deren Charakter bestimmt.
  • Wie man mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung Kurven zeichnet.
  • Wie man globale Maxima und Minima einer Funktion findet.
  • Wie man den Charakter einer stationären Stelle mit der zweiten Ableitung bestimmt.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Steigende und fallende Funktionen

Man sagt, dass eine Funktion monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist. Man sagt monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.

Die formellen Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist monoton steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist monoton fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}

Die Definition sagt uns also, dass eine Stelle rechts von einer bestimmten Stelle immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat wie die linke Stelle. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng monoton steigend und streng monoton fallend:

Eine Funktion f ist streng monoton steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist streng monoton fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}

(Eine streng monoton steigende oder fallende Funktion kann nicht konstant sein.)

Beispiel 1

  1. Die Funktion \displaystyle y= f(x), deren Graph unten eingezeichnet ist, ist steigend im Intervall \displaystyle 0 \le x \le 6.
  2. Die Funktion \displaystyle y=-x^3\!/4 ist streng monoton fallend.
  3. Die Funktion \displaystyle y=x^2 ist streng monoton steigend für \displaystyle x \ge 0.


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Graph der Funktion aus a. Graph der Funktion f(x) = - x³/4 Graph der Funktion f(x) = x²

Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad \text{ für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } [a,b],\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad \text{für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } [a,b]. \end{align*}

Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.

B - Stationäre Stellen

Stellen, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 gilt, nennt man stationäre Stellen oder kritische Stellen. Wir unterscheiden drei Arten von stationären Stellen:

  • Lokale Maxima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 links von der Stelle ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 rechts von der Stelle ist.
  • Lokale Minima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 links von der Stelle ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 rechts von der Stelle ist.
  • Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von \displaystyle f^{\,\prime} auf beiden Seiten des Punktes gleich ist.

Hinweis: An einer Stelle kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum liegen, ohne dass \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0; lies mehr darüber im Abschnitt Maxima und Minima.

C - Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (die Funktion ist sowohl links als auch rechts von der Sattelstelle monoton steigend bzw. die Funktion ist sowohl links als auch recht von der Sattelstelle monoton fallend).

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Im Sattelpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht. Die linke Kurve hat einen Sattelstelle bei x = 0. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.


[Image]

Die Funktion hat einen lokales Minimum in \displaystyle x = -2, einen Sattelpunkt in \displaystyle x = 0 und einen lokales Maximum in \displaystyle x = 2.

D - Vorzeichentabelle

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) betrachtet, kann man viele Informationen über die Funktion erhalten.

Um eine Funktion zu untersuchen, macht man eine sogenannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte, bei denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0 und die Stellen, an denen die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Stellen.

Beispiel 2

Machen Sie eine Vorzeichentabelle der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -12x + 6 und zeichnen Sie die Funktion.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).

Der Faktor \displaystyle x-2 ist negativ links von \displaystyle x=2 und positiv rechts von \displaystyle x=2. Der Faktor \displaystyle x+2 ist negativ links von \displaystyle x=-2 und positiv rechts von \displaystyle x=-2. Mit Hilfe dieser Information erstellen wir eine Tabelle:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle x-2 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Nachdem die Ableitung das Produkt von \displaystyle x-2 und \displaystyle x+2 ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 22 \displaystyle \searrow \displaystyle -10 \displaystyle \nearrow

In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng monoton steigend \displaystyle (\,\nearrow\,\,) oder streng monoton fallend \displaystyle (\,\searrow\,\,) im Intervall ist und zusätzlich die Werte der Funktion an den stationären Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=2.

Aus der Tabelle sehen wir, dass die Funktion ein lokales Maximum in \displaystyle (–2, 22) hat und ein lokales Minimum in \displaystyle (2, –10) hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:

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E - Maxima und Minima (Extremwerte)

Eine Stelle, an der die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man lokales Maximum oder lokales Minimum. Lokale Maxima und lokale Minima nennt man auch lokale Extrema.

Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrema:

  • Eine stationäre Stelle (\displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
  • Eine Stelle, in dem die Ableitung nicht definiert ist (singuläre Stelle).
  • An der letzten Stelle des Intervalles, in dem die Funktion definiert ist.

Beispiel 3

Die Funktion unten hat vier lokale Extrema: Lokale Maxima in \displaystyle x=c und \displaystyle x=e, und lokale Minima in \displaystyle x=a und \displaystyle x=d.

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In \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=d ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, aber nur an den Stellen \displaystyle x=a und \displaystyle x=d sind Extrempunkte, da bei \displaystyle x=b ein Sattelpunkt ist.

In \displaystyle x=c ist die Ableitung nicht definiert. Die Stelle \displaystyle x=e ist eine Randstelle und ordnet somit einen Endpunkt zu.

Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Folgende Vorgangsweise ist nützlich:

  1. Die Funktion ableiten.
  2. Untersuchen, ob es Stellen gibt, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) nicht definiert ist.
  3. Alle Stellen finden, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 ist.
  4. Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrema finden.
  5. Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.

Beispiel 4

Bestimme die Extrema der Funktion \displaystyle y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}

Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor \displaystyle 12x haben wir schon und können die Funktion weiter zerlegen, indem wir die Nullstellen von \displaystyle x^2+x-2 finden.

\displaystyle

x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{oder}\quad x=1.

Also ist \displaystyle x^2+x-2=(x+2)(x-1) und die Ableitung ist

\displaystyle y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}

Die Nullstellen der Ableitung sind \displaystyle x=-2, \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene \displaystyle x bestimmen.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x-1 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +

Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Spalte, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle -20 \displaystyle \nearrow \displaystyle 12 \displaystyle \searrow \displaystyle 7 \displaystyle \nearrow

Die Kurve hat also lokale Minima in den Punkten \displaystyle (–2, –20) und \displaystyle (1, 7) und ein lokales Maximum im Punkt \displaystyle (0, 12).

Beispiel 5

Bestimme alle Extrema der Funktion \displaystyle y= x - x^{2/3}.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}

Von dieser Funktion sehen wir, dass \displaystyle y' für \displaystyle x = 0 nicht definiert ist (obwohl \displaystyle y definiert ist). Also hat die Funktion eine singuläre Stelle in \displaystyle x=0.

Die stationären Stellen der Funktion erhalten wir durch

\displaystyle

y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1= \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{x} = \tfrac {2}{3}\quad \Leftrightarrow \quad x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}

Also kann die Funktion Extrema in den Stellen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\tfrac{8}{27} haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um die Stellen weiter zu untersuchen:

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \frac{8}{27}
\displaystyle y' \displaystyle + nicht def. \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle y \displaystyle \nearrow \displaystyle 0 \displaystyle \searrow \displaystyle -\frac{4}{27} \displaystyle \nearrow

Also hat die Funktion einen lokales Maximum im Punkt \displaystyle (0, 0) und einen lokales Minimum im Punkt \displaystyle (\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,.

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F - Globale Maxima und Minima

Ein globales Maximum ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein globales Minimum ein Punkt, der einen niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.

Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und danach den höchsten und niedrigsten Wert von diesen.

Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.

Beispiel 6

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Die linke Funktion hat weder ein globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum.

Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass die Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein können.

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Diese Funktion ist nur im Intervall \displaystyle a\le x \le e interessant. Wir sehen, dass das globale Minimum der Funktion an der Stelle \displaystyle x=b ist, und dass das globale Maximum an der Stelle \displaystyle x=e ist.


Beispiel 7 Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -3x + 2 im Intervall \displaystyle -0\textrm{.}5 \le x \le 1\,.

Wir leiten die Funktion \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3 ab, und bestimmen so alle stationären Stellen,

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}

Die Stelle \displaystyle x = –1 liegt ausserhalb des Intervalles und \displaystyle x = 1 liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Stellen, daher muss das Maximum und das Minimum an einem der Endpunkte liegen.

\displaystyle \begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}

Das Maximum der Funktion ist also \displaystyle 3\textrm{.}375. Das Minimum ist \displaystyle 0 (siehe Figur).

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Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion in dem Bereich, der im Intervall liegt, mit einer durchgehenden Linie.


G - Die zweite Ableitung

Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion monoton steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrema bestimmen.


Falls die Funktion \displaystyle f(x) eine stationäre Stelle in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, ist

  1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton fallend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 links von \displaystyle x=a, da \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 und deshalb auch \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 rechts von \displaystyle x=a.

Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=a.


[Image]

Wenn die Ableitung links von x = a positiv ist, und rechts von x = a negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum an der Stelle x = a.


Wenn die Funktion \displaystyle f(x) eine stationäre Stelle in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, ist

  1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton steigend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 links von \displaystyle x=a, da \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 und deshalb auch \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 rechts von \displaystyle x=a.

Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=a.

[Image]

Wenn die Ableitung links von x = a negativ ist, und rechts von x = a positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum an der Stelle x = a.


Wenn \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, können wir nichts Weiteres über den stationäre Stelle sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 für alle Sattelpunkte gilt, gilt nicht das Umgekehrte.


Beispiel 8

Bestimme alle Extrempunkte der Funktion \displaystyle f(x)=x^3 -x^2 -x +2 und bestimme deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.

Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Stellen sein. Die Ableitung der Funktion ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1, und die Nullstellen der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \quad\text{oder}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}

Die Funktion hat also die stationäre Stelle \displaystyle x = 1 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2 bestimmen, können wir den Charakter der stationären Stellen bestimmen.

  • Für \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0, also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ein lokales Maximum.
  • Für \displaystyle x=1 ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(1)=4>0, also ist \displaystyle x=1 ein lokales Minimum.



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