Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Theorie

Übungen

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Die Fläche unter einer Kurve

Wir haben im vorigen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die Fläche zwischen der x-Achse und dem Schaubild einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.

Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen v-t-Graph einzeichnen, können wir die drei unten dargestellten Fälle erhalten:

	Das Objekt bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit 5.		Das Objekt bewegt sich zuerst mit der Geschwindigkeit 4 bis zur Zeit t = 3, wo es plötzlich die Geschwindigkeit 6 erhält.		Die Geschwindigkeit wächst linear.

Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:

\displaystyle s(6) = 5\cdot 6 = 30\,\mbox{m},\quad s(6) = 4\cdot 3 + 6\cdot 3 = 30\,\mbox{m},\quad s(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}

In allen drei Fällen sehen wir, dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter dem Graph der Funktion entspricht.

Hier werden noch einige Beispiele gezeigt, was die Fläche unter einem Graph bedeuten kann.

B - Die Bezeichnung des Integrals

Um die Fläche unter einer Kurve zu beschreiben verwendet man das Integralzeichen \displaystyle \,\smallint\,.

C - Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

Die Funktion \displaystyle F ist eine Stammfunktion von \displaystyle f falls \displaystyle F'(x) = f(x) in einen bestimmten Intervall. Falls \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist, ist es leicht zu sehen, dass auch \displaystyle F(x) + C eine Stammfunktion ist für eine beliebige Konstante \displaystyle C. Man kann auch zeigen, dass die Funktion \displaystyle F(x) + C alle möglichen Stammfunktionen von \displaystyle f(x) bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und man schreibt

\displaystyle \int f(x)\, dx\,\mbox{.}

D - Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen

Wir wissen bereits, dass die Fläche unter einer Funktion dem Integral der Funktion entspricht.

Wir nehmen an, dass \displaystyle f stetig in einem Intervall ist. Der Wert des Integrals \displaystyle \ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ hängt dann von den Integrationsgrenzen \displaystyle a und \displaystyle b ab. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie \displaystyle x statt \displaystyle b ist, wird das Integral eine Funktion von \displaystyle x sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable \displaystyle t statt \displaystyle x:

\displaystyle A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}

Wir werden jetzt zeigen, dass \displaystyle A die Stammfunktion von \displaystyle f ist.

Die gesamte Fläche under der Kurve von \displaystyle t=a bis \displaystyle t=x+h ist \displaystyle A(x+h) und ist ungefähr \displaystyle A(x) plus die Fläche des Rechtecks zwischen \displaystyle t=x und \displaystyle t=x+h, also

\displaystyle A(x+h)\approx A(x)+h\, f(c)

wo \displaystyle c eine Zahl zwischen \displaystyle x und \displaystyle x+h ist. Wir können den Ausdruck als

\displaystyle \frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(c)\,\mbox{.}

schreiben. Lassen wir \displaystyle h \rightarrow 0, bekommen wir auf der linken Seite \displaystyle A'(x), und die rechte Seite wird \displaystyle f(x) und daher ist

\displaystyle A'(x) = f(x)\,\mbox{.}

Also ist die Funktion \displaystyle A(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x).

E - Integrale berechnen

Wir wollen mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral berechnen. Wenn \displaystyle F eine Stammfunktion von \displaystyle f ist, dann ist

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C

Wenn \displaystyle b=a ist, ist die linke Seite null (Die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen a und a). Darum muss die Konstante \displaystyle C so gewählt werden, dass für \displaystyle b=a die rechte Seite ebenfalls null ist. Also ergibt

\displaystyle \int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0

dass \displaystyle C=-F(a) sein muss. Wenn wir zusammenfassen, ergibt sich, dass

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Wir können natürlich hier die Integrationsvariable \displaystyle x wählen und erhalten dann

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Die Berechnung von Integralen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt gewöhnlich

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

F - Stammfunktionen

Um häufige Funktionen abzuleiten, gibt es generelle Ableitungsregeln. Die umgekehrte Rechenoperation durchzuführen ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung rückwärts ausführt: d.h. man sucht eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist.

Mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen

Integral und Stammfunktion	Begründung (durch Ableitung)
\displaystyle \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{für }\ n \ne -1	\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right) = x^n
\displaystyle \int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C	\displaystyle \left( \ln |x| + C \right)^{\, \prime} = \frac{1}{|x|} \cdot \text{ sgn } (x) = \frac{1}{x} für \displaystyle x \not= 0
\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C	\displaystyle D \left( e^x + C \right) = e^x
\displaystyle \int \cos x \, dx = \sin x + C	\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \sin x + C \right) = \cos x
\displaystyle \int \sin x \, dx = -\cos x + C	\displaystyle \left( -\cos x + C \right)^{\, \prime} = \sin x

G - Lineare Substitution

Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.

Diese Methode funktioniert also nur dann, wenn die innere Ableitung eine Konstante ist.

H - Integrationsregeln

Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen, dass:

1. \displaystyle \int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Integral das Vorzeichen.

2. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
Die Summe der Integrale (mit denselben Integrationsgrenzen) ist das Integral über die Summe der Integranden.

3. \displaystyle \int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
Das Integral über ein Vielfaches des Integranden ist das Vielfache des Integrals über den einfachen Integranden.

4. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}
Die Summe der Integrale mit demselben Integranden über direkt nebeneinander liegende Intervalle ist gleich dem Integral über das Gesamtinterval.

Außerdem haben Integrale, wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, sind aber ansonsten gleich:

\displaystyle \begin{align*}A_1 &= \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx,\\[6pt] A_2 &= -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.} \end{align*}

Die gesamte Fläche ist \displaystyle \ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,.

Hinweis: Der Wert eines Integrals kann sehr wohl negativ sein, nur die Fläche ist immer positiv.

I - Die Fläche zwischen Funktionen

Wenn \displaystyle f(x) \ge g(x) in einem Intervall \displaystyle a\le x\le b ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesem Intervall

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}

oder vereinfacht

\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}

Wenn f(x) und g(x) beide positiv sind und f(x) größer ist als g(x), ist die Fläche zwischen f und g (siehe linkes Bild), der Unterschied in Fläche von den Flächen unter den Schaubildern der Funktionen f (siehe mittleres Bild) und g (siehe rechtes Bild).

Es ist egal, ob \displaystyle f(x) < 0 oder \displaystyle g(x) < 0 so lange \displaystyle f(x) \ge g(x). Der Wert der Fläche ist unabhängig davon, ob die Funktionen positiv oder negativ sind. Dies wird aus folgenden Bildern ersichtlich:

Die Fläche zwischen den beiden Graphen der Funktionen ändert sich nicht wenn wir beide Funktionen in die y-Richtung verschieben. Die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) und g(x) ist dasselbe wie die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) - 3 und g(x) - 3 (siehe mittleres Bild), als auch zwischen den Funktionen f(x) - 6 und g(x) - 6 (siehe rechtes Bild).

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