Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Gewählter Tab|[[3.3 Potenzen und Wurzeln|Theorie]]}} {{Nicht gewählter Tab|[[3.3 Übungen|Übungen]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Inhalt:''' * Der Moivresche Satz * Quadratische Gleichungen * Exponentialfunktionen * Quadratische Ergänzung }} {{Info| '''Lernziele:''' Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen: * Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst. * Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt. * Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt. * Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst. }} == A - Moivrescher Satz== Die Rechenregeln <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> und <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ </math> bedeuten, dass {{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}</math>}} Für eine beliebige komplexe Zahl <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math> gilt daher, dass {{Abgesetzte Formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}} Falls <math>|\,z\,|=1</math> (also, dass <math>z</math> am Einheitskreis liegt), erhalten wir den Sonderfall <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{.}</math>}} </div> Diese Regel nennt man den ''Moivreschen Satz''. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet. <div class="exempel"> ''' Beispiel 1''' Bestimme <math>z^3</math> und <math>z^{100}</math> für <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math> . Wir schreiben <math>z</math> in Polarform <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> und verwenden den Moivreschen Satz {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 2''' Normalerweise würden wir hier die binomische Formel benutzen {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}</math>}} und mit den Moivreschen Satz erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}} Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten {{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 3''' Vereinfache <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>. Wir schreiben die Zahlen <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> und <math>1+i</math> in Polarform *<math>\quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>, *<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>, *<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>. Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}\:</math>.}} Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </div> == B - Die ''n''te Wurzel von komplexen Zahlen == Eine komplexe Zahl <math>z</math> wird die ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt, falls <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}} </div> Die Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht. Ist eine Zahl <math> w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> gegeben, nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}} wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten. {{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}} Wir erhalten also ''einen'' Wert für <math>r</math>, aber unendlich viele Werte für <math>\alpha</math>. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von <math>k</math> zwischen <math>k = 0</math> und <math>k = n - 1</math> erhalten wir verschiedene Argumente für <math>z</math> und daher verschiedene Zahlen <math>z</math>. Für andere Werte von <math>k</math> wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen <math>\cos \theta</math> und <math>\sin \theta</math> periodisch sind und die Periodenlänge <math>2 \pi</math> haben. Also hat eine Gleichung mit der Form <math>z^n=w</math> genau <math>n</math> Wurzeln. Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um <math>2\pi/n</math> unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> verteilt und bilden ein ''n''-seitiges Polygon. <div class="exempel"> '''Beispiel 4''' Löse die Gleichung <math>\ z^4= 16\,i\,</math>. Wir schreiben <math>z</math> und <math>16\,i</math> in Polarform *<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>, *<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>. Die Gleichung <math>\ z^4=16\,i\ </math> wird also {{Abgesetzte Formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}} Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{d.h.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}</math>}} {| width="100%" | width="95%"| Die Wurzeln der Gleichung sind daher {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt] \displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.</math>}} | width="5%" | ||{{:3.3 - Bild - Die komplexen Zahlen z₁, z₂, z₃ und z₄}} |} </div> == C - Exponentialform der komplexen Zahlen== Wenn wir <math>i</math> als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl <math>z</math> wie eine Funktion von nur <math>\alpha</math> betrachten (in der <math>r</math> also konstant ist), ergibt sich {{Abgesetzte Formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}} und wir erhalten durch wiederholte Ableitung {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}</math>}} Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form <math>f(x)= e^{\,kx}</math>. Daher stammt folgende Definition: {{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}} Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir <math>z=a+ib</math> erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}} Die Definition von <math>e^{\,z}</math> kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>. <div class="exempel"> ''' Beispiel 5''' Für eine reelle Zahl <math>z</math> ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da <math>z=a+0\cdot i</math> erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 6''' Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz. {{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}</math>}} Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen. {{Abgesetzte Formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 7''' Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel {{Abgesetzte Formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}} Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt. </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 8''' Löse die Gleichung <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>. Wir lassen <math>w = z + i</math> sein. Wir erhalten so die Gleichung <math>\ w^3=-8i\,</math>. Wir bringen als ersten Schritt <math>w</math> und <math>-8i</math> in Polarform *<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math> *<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math> In Polarform lautet die Gleichung <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math>. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Die Wurzeln der Gleichung sind daher *<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math> *<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}</math> *<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math> also sind <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> und <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>. </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 9''' Löse die Gleichung <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>. Wenn für <math>z=a+ib</math>, <math>|\,z\,|=r</math> und <math>\arg z = \alpha</math> ist, ist für <math>\overline{z}= a-ib</math> <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> und <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Also ist <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> und <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Die Gleichung lautet also {{Abgesetzte Formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{.}</math>}} Wir sehen direkt, dass <math>r=0</math> eine der Lösungen ist und daher die Lösung <math>z=0</math> ergibt. Nehmen wir an, dass <math>r\not=0</math> erhalten wir die Gleichung <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Die Wurzeln sind also *<math>\quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}</math> *<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math> *<math>\quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}</math> *<math>\quad z_4 = 0\,\mbox{.}</math> </div> == D - Quadratische Ergänzung == Die wohlbekannten Regeln {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}} können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> und, dass <math>x=-2\pm 3</math> und daher <math>x=1</math> oder <math>x=-5</math>. Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}} Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man ''quadratische Ergänzung''. <div class="exempel"> ''' Beispiel 10''' <ol type="a"> <li> Löse die Gleichung <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>. <br> <br> Der Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-6</math> und daher müssen wir die Zahl <math>(-3)^2=9</math> als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>. Daher ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>. </li> <li> Löse die Gleichung <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>. <br> <br> Die Gleichung kann wie <math>z^2+8z+17=0</math> geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align*}</math>}} und daher ist <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Also sind die Wurzeln <math>z=-4-i</math> und <math>z=-4+i</math>. </li> </ol> </div> Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des ''x''-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen. <div class="exempel"> ''' Beispiel 11''' Löse die Gleichung <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>. Der halbe Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Also müssen wir <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> auf beiden Seiten addieren {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Wir sehen, dass <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> und erhalten dadurch, dass <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, also <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> oder <math>x=3</math>. </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 12''' Löse die Gleichung <math>\ x^2+px+q=0\,</math>. Durch quadratische Ergänzung erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}} Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 13''' Löse die Gleichung <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>. Der halbe Koeffizient von <math>z</math> ist <math>-(6+2i)</math>. Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}} Erweitern wir die rechte Seite <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>. </div> Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Zum Beispiel {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} <div class="exempel"> ''' Beispiel 14''' Ergänze <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math> quadratisch. Wir subtrahieren und addieren <math>\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,</math> vom Ausdruck, {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </div> == E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel== Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie <math>\sqrt{a+ib}</math> entstehen. Man kann dann annehmen, dass {{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}} Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}} Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man <math>y= b/(2x)</math> in der ersten Gleichung ersetzt. <div class="exempel"> ''' Beispiel 15''' Berechne <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>. Wir nehmen an, dass <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math>, wobei <math>x</math> und <math>y</math> reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align*}</math>}} und wir erhalten die beiden Gleichungen {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Von der zweiten Gleichung erhalten wir <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math>. Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt {{Abgesetzte Formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}} Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>x^2</math>, die wir am einfachsten lösen, indem wir <math>t=x^2</math> substituieren {{Abgesetzte Formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}} Die Lösungen sind <math>t = 1</math> und <math>t = -4</math>. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da <math>x</math> und <math>y</math> reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen <math>x=\pm\sqrt{1}</math> und dadurch * <math>\ x=-1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>, * <math>\ x=1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/1=-2\,</math>. Also ist {{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 16''' <ol type="a"> <li> Löse die Gleichung <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>. <br> <br> Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12) {{Abgesetzte Formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}} </li> <li> Löse die Gleichung <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math> <br> <br> Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </li> <li> Löse die Gleichung <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math> <br> <br> Division auf beiden Seiten durch <math>i</math> ergibt {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Durch die Lösungsformel erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}</math>,}} indem wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher {{Abgesetzte Formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </li> </ol> </div>

• 3.3 - Bild - Die komplexen Zahlen z₁, z₂, z₃ und z₄
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