Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Gewählter Tab|[[3.2 Polarform|Theorie]]}} {{Nicht gewählter Tab|[[3.2 Übungen|Übungen]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Inhalt:''' * Die komplexe Zahlenebene * Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene * Betrag und Argument * Polarform * Multiplikation und Division in Polarform * Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene }} {{Info| '''Lernziele:''' Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen: * Wie die arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene geometrisch zu verstehen sind. * Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form ''a'' + ''ib'' und der Polarform umwandelt. }} Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge). == A - Die komplexe Zahlenebene == Nachdem eine komplexe Zahl <math>z=a+bi</math> aus einem Realteil <math>a</math>, und einem Imaginärteil <math>b</math> besteht, kann man eine komplexe Zahl <math>z</math> wie ein Zahlenpaar <math>(a,b)</math> in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse winkelrecht zu einander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene. <center>{{:3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene}}</center> Diese geometrische Interpretation der komplexen Zahlen nennt man die ''komplexe Zahlenebene''. Hinweis: Die reellen Zahlen sind komplexe Zahlen, bei denen der Imaginärteil 0 ist und die daher auf der reellen Achse liegen. Daher kann man die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen so sehen, dass man die Dimension der Zahlengerade auf eine Ebene erweitert. Generell kann man komplexe Zahlen wie Vektoren behandeln. {| width="100%" align="center" | width="10%" | | width="35%" align="center" |{{:3.2 - Bild - Addition von komplexen Zahlen}} | width="10%" | | width="35%" align="center" |{{:3.2 - Bild - Subtraktion mit komplexen Zahlen}} | width="10%" | |- || | valign="top" |<small> Geometrisch erhält man die Zahl ''z''&nbsp;+&nbsp;''w'' indem man den Vektor von 0 bis ''w'' parallel zu z verschiebt.</small> || | valign="top" |<small>Die Subtraktion ''z'' - ''w'' kann wie ''z'' + (-''w'') geschrieben werden, und kann also geometrisch interpretiert also ob man den Vektor von 0 bis -''w'' parallel bis ''z'' verschiebt.</small> || |} <div class="exempel"> ''' Beispiel 1''' Mit <math>z=2+i</math> und <math>w=-3-i</math> zeichnen wir <math>z</math>, <math>w</math>, <math>\overline{z}</math>, <math>\overline{z}-\overline{w}</math> und <math>z-w</math> in der komplexen Zahlenebene. {| width="100%" | width="100%" |Wir haben *<math>\overline{z}=2-i\,</math>, *<math>\overline{w}=-3+i\,</math>, *<math>z-w=2+i-(-3-i)</math><br/><math>\phantom{z-w}{}=5+2i\,</math>, *<math>\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)</math><br/><math>\phantom{\overline{z} -\overline{w}}{}=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})\,</math>. ||{{:3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit z, w, z*, z - w und z* - w* markiert}} |} Beachte, dass die konjugiert komplexen Zahlen Spiegelbilder in der reellen Achse sind. </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 2''' Zeichne alle Zahlen <math>z</math> in der komplexen Zahlenebene, die folgende Bedingungen erfüllen: <ol type="a"> <li><math>\mathop{\rm Re} z \ge 3\,</math>,</li> <li><math> -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2\,</math>.</li> </ol> Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche. {| align="center" width="80%" ||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet Re z ≥ 3}} | width="5%" | ||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet -1 kleiner als Im z ≤ 2}} |- | valign="top" |<small> Alle Zahlen die Re&nbsp;''z''&nbsp;≥&nbsp;3 erfüllen, haben einen Realteil, der größer als &nbsp;3. </small> || | valign="top" |<small>Alle Zahlen die -1&nbsp;<&nbsp;Im&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2 erfüllen, haben einen Imaginärteil, der zwischen &nbsp;-1 und&nbsp;2 liegt. Die untere Gerade ist gestrichelt und dies bedeutet, dass die Punkte auf dieser Gerade nicht zum Gebiet gehören. </small> |} </div> == B - Der Betrag komplexer Zahlen == Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, da größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen. Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen, ob <math>z=1-i</math> oder <math>w=-1+i</math> am größten ist. Mit dem Begriff ''Betrag'' kann man aber auch ein Größenmaß für komplexe Zahlen einführen. Für eine komplexe Zahl <math>z=a+ib</math> ist der Betrag <math>|\,z\,|</math> definiert als <br\><br\> <div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}</math>}}</div> Wir sehen hier, dass <math>|\,z\,|</math> eine reelle Zahl ist und, dass <math>|\,z\,|\ge 0</math>. Für eine reelle Zahl ist <math>b = 0</math> und daher ist <math>|\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|</math> wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt <math>(0,0)</math> zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten <math>(a, b)</math>, nach dem Gesetz des Pythagoras. <center>{{:3.2 - Bild - Der Betrag von z}}</center> == C - Abstand zwischen komplexen Zahlen == Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene können wir den Abstand <math>s</math> zwischen zwei komplexen Zahlen <math>z=a+ib</math> und <math>w=c+id</math> (siehe Bild) mit der Abstandsformel berechnen <div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}</math>}}</div> <center>{{:3.2 - Bild - Der Abstand zwischen z und w}}</center> Da <math>z-w=(a-c)+i(b-d)</math>, erhalten wir <center><math>|\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}</math> der Abstand zwischen <math>z</math> und <math>w</math>.</center> <div class="exempel"> ''' Beispiel 3''' Zeichne in der komplexen Zahlenebene die folgende Menge. {| width="100%" | width="95%" | <ol type="a"> <li><math>\,\, |\,z\,|=2</math> <br/> <br/> Diese Gleichung beschreibt alle Zahlen, die den Abstand 2 zum Punkt <math>(0,0)</math> haben. Die Gleichung beschreibt also einen Kreis mit dem Mittelpunkt <math>(0,0)</math> und dem Radius 2. </li> </ol> | width="5%" | ||{{:3.2 - Bild - Der Kreis ∣z∣ = 2}} |} {| width="100%" | width="95%" | <ol type="a" start="2"> <li><math>\,\, |\,z-2\,|=1</math> <br/> <br/> Diese Gleichung wird von allen Zahlen erfüllt, deren Abstand von der Zahl 2 gleich 1 ist. Also ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>z = 2</math> und dem Radius 1.</li> </ol> | width="5%" | ||{{:3.2 - Bild - Der Kreis ∣z - 2∣ = 1}} |} {| width="100%" | width="95%" | <ol type="a" start="3"> <li><math>\,\, |\,z+2-i\,|\le 2</math> <br/> <br/> Die linke Seite kann als <math>|\,z-(-2+i)\,|</math> geschrieben werden, daher beschreibt die Ungleichung alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl <math>-2+i</math> geringer als 2 ist. Das ist ein Kreis mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt <math>-2+i</math>.</li> </ol> | width="5%" | ||{{:3.2 - Bild - Der Kreis ∣z + 2 - i∣ ≤ 2}} |} {| width="100%" | width="95%" | <ol type="a" start="4"> <li><math>\,\, \frac{1}{2}\le |\,z-(2+3i)\,|\le 1</math> <br/> <br/> Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen, deren Abstand zur Zahl <math>z=2+3i</math> zwischen <math>\frac{1}{2}</math> und <math>1</math> ist.</li> </ol> | width="5%" | ||{{:3.2 - Bild - Der Kreisring 1/2 ≤ ∣z - (2 + 3i)∣ ≤ 1}} |} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 4''' Zeichne in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgenden (Un)gleichungen erfüllen: <ol type="a"> <li><math>\, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.</math> <br/> <br/> Die erste Ungleichung gibt an, dass die Zahlen im Kreis mit dem Radius 3 um den Mittelpunkt <math>2i</math> liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen, deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen, die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen. <br/> <li><math>\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|</math> <br/> <br/> Die Gleichung kann wie <math>|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|</math> geschrieben werden. Also muss <math>z</math> denselben Abstand zu <math>-1</math> wie zu <math>2</math> haben. Diese Bedingung ist von allen Zahlen <math>z</math> erfüllt, die den Realteil <math>1/2</math> haben. </li> </ol> {| align="center" width="80%" ||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z - 2i∣ ≤ 3 und 1 ≤ Re z ≤ 2}} | width="5%" | ||{{:3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z + 1∣ = ∣z - 2∣}} |- ||<small> Das gestrichelte Gebiet besteht aus den Punkten, die die Ungleichungen |''z''&nbsp;- 2i|&nbsp;≤&nbsp;3 und 1&nbsp;≤ Re&nbsp;''z''&nbsp;≤&nbsp;2 erfüllen.</small> || ||<small>Die Zahlen, die |''z''&nbsp;+ 1|&nbsp;= |''z''&nbsp;- 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist.</small> |} </div> == D - Polarform == Anstatt komplexe Zahlen <math>z=x+iy</math> mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man polare Koordinaten verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Bild). <center>{{:3.2 - Bild - Polarform von z}}</center> Nachdem <math>\,\cos\alpha = x/r\,</math> und <math>\,\sin\alpha = y/r\,</math> ist <math>\,x = r\cos\alpha\,</math> und <math>\,y= r\sin\alpha</math>. Die Zahl <math>z=x+iy</math> kann also als <div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{}</math>}}</div> geschrieben werden. Dies nennt man die Polarform der komlexen Zahl <math>z</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> wird das Argument von <math>z</math> genannt und wird geschrieben als <div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>\alpha=\arg\,z\,\mbox{.}</math>}}</div> Den Winkel <math>\alpha</math> kann man bestimmen, indem man die Gleichung <math>\tan\alpha=y/x</math> löst. Nachdem diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so, dass es zwischen 0 und <math>2\pi</math> oder zwischen <math>-\pi</math> und <math>\pi</math> liegt. Dabei ist darauf zu achten, den Winkel dazu anzupassen in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl in der Zahlenebene befindet. Die reelle Zahl <math>r</math> ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), also der Betrag von <math>z</math> <div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|\,\mbox{.}</math>}}</div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 5''' Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform: <ol type="a"> <li><math>\,\,-3</math> <br/> <br/> Da <math>|\,-3\,|=3</math> und <math>\arg (-3)=\pi</math>, ist <math>\ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi)</math>. </li> <li><math>\,i</math> <br/> <br/> Da <math>|\,i\,|=1</math> und <math>\arg i = \pi/2</math>, ist <math>\ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,</math>. </li> <li><math>\,1-i</math> <br/> <br/> Der Betrag ist <math>|\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}</math>. Die Zahl liegt im vierten Quadranten, und hat den Winkel <math>\pi/4</math> zu der positiven reellen Achse. <br>Daher ist das Argument <math>\arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4</math>. <br> Und daher ist <math>\ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr)</math>. </li> <li><math>\,2\sqrt{3}+2i</math> <br/> <br/> Wir berechnen zuerst den Betrag {{Abgesetzte Formel||<math>|\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}</math>}} Wir benennen das Argument <math>\alpha</math>. Das Argument erfüllt die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>\tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math>}} und da die Zahl im ersten Quadranten liegt, ist <math>\alpha=\pi/6</math> und daher {{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}</math>}} </li> </ol> <center>{{:3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit -3, i, 1 - i und 2√3 + 2i markiert}}</center> </div> == E - Multiplikation und Division in Polarform == Der große Vorteil der Polarform ist, dass die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen sich sehr einfach ausführen lässt. Für zwei komplexe Zahlen <math>z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)</math> und <math>w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta)</math> kann man mit Hilfe von trigonometrischen Identitäten zeigen, dass <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}z\, w&=|\,z\,|\,|\,w\,|\,\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\,\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{w}&=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\,\sin(\alpha-\beta)\bigr)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </div> Wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert, werden deren Beträge multipliziert und deren Argumente addiert. Wenn man zwei komplexe Zahlen dividiert, werden deren Beträge dividiert und deren Argumente subtrahiert. Zusammengefasst gilt also <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>|\,z\, w\,|=|\,z\,|\, |\,w\,|\quad \mbox{und}\quad \arg(z\, w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ und}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}</math>}} </div> {| width="80%" align="center" ||{{:3.2 - Bild - Die komplexen Zahlen z und w mit den Argumenten α und β}} | width="5%" | ||{{:3.2 - Bild - Der Produkt zw mit Argument α + β}} |} <div class="exempel"> ''' Beispiel 6''' Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in Polarform schreibst. <ol type="a"> <li><math>\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)</math> <br/> <br/> Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in Polarform. {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*}</math>}} Es folgt jetzt, dass {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </li> <br/> <li> <math>(-2-2i)(1+i)</math> <br/> <br/> Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in Polarform. {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\end{align*}</math>}} Durch die Multiplikationsregeln der Polarform folgt, dass {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </li> </ol> </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 7''' <ol type="a"> <li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math> wenn<math>\ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)</math>. Gib die Antwort in Polarform an. <br/> <br/> Da <math>\ i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)</math> folgt, dass {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </li> <br/> <li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math>, wenn <math>\ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)</math>. Antworte in Polarform. <br/> <br/> Wir schreiben <math>i</math> in Polarform und erhalten {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 3\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </li> </ol> Wir sehen, dass die Multiplikation mit ''i'' zu einer Drehung des Winkels <math>\pi/2</math> gegen den Uhrzeigersinn führt. {| width="80%" align="center" ||{{:3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit z, iz und z/i markiert, wo arg z = π/6}} | width="5%" | ||{{:3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit z, iz und z/i markiert, wo arg z = 7π/4}} |- ||<small>Komplexe Zahlen ''z'', ''iz'' und ''z''/''i'', bei denen |''z''|&nbsp;=&nbsp;2 und arg&nbsp;''z''&nbsp;= π/6.</small> || ||<small>Komplexe Zahlen ''z'', ''iz'' und ''z''/''i'', bei denen |''z''|&nbsp;=&nbsp;3 und arg&nbsp;''z''&nbsp;= 7π/4.</small> |} </div> <br><br> Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype> Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.2 Übungen|Übungen]]''' .

• 3.2 - Bild - Addition von komplexen Zahlen
• 3.2 - Bild - Das Gebiet -1 kleiner als Im z ≤ 2
• 3.2 - Bild - Das Gebiet Re z ≥ 3
• 3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z + 1∣ = ∣z - 2∣
• 3.2 - Bild - Das Gebiet ∣z - 2i∣ ≤ 3 und 1 ≤ Re z ≤ 2
• 3.2 - Bild - Der Abstand zwischen z und w
• 3.2 - Bild - Der Betrag von z
• 3.2 - Bild - Der Kreis ∣z + 2 - i∣ ≤ 2
• 3.2 - Bild - Der Kreis ∣z - 2∣ = 1
• 3.2 - Bild - Der Kreis ∣z∣ = 2
• 3.2 - Bild - Der Kreisring 1/2 ≤ ∣z - (2 + 3i)∣ ≤ 1
• 3.2 - Bild - Der Produkt zw mit Argument α + β
• 3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene
• 3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit -3, i, 1 - i und 2√3 + 2i markiert
• 3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit z, iz und z/i markiert, wo arg z = 7π/4
• 3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit z, iz und z/i markiert, wo arg z = π/6
• 3.2 - Bild - Die komplexe Zahlenebene mit z, w, z*, z - w und z* - w* markiert
• 3.2 - Bild - Die komplexen Zahlen z und w mit den Argumenten α und β
• 3.2 - Bild - Polarform von z
• 3.2 - Bild - Subtraktion mit komplexen Zahlen
• Vorlage:Abgesetzte Formel
• Vorlage:Gewählter Tab
• Vorlage:Info
• Vorlage:Nicht gewählter Tab

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