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Lösung 1.3:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 1.3:3b moved to Lösung 1.3:3b: Robot: moved page)
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Because the function is defined and differentiable for all ''x'', the function can only have local extreme points at the critical points, i.e. where the derivative is zero.
+
Nachdem die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
-
 
+
-
For this function, the derivative is given by
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
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and if we set it to zero, we will obtain
+
und wir erhalten also die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}}
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which is a first-degree equation in <math>e^{-3x}</math> and has the solution
+
für die Wurzeln. Diese Gleichung hat die Lösung
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
-
The function therefore has a critical point <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
+
und also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
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Instead of studying the sign changes of the derivative around the critical point in order to decide if the point is a local maximum, minimum or neither, we investigate the function's second derivative.
+
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
-
The second derivative is equal to
+
Die zweite Ableitung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
-
and is positive for all values of ''x'', since the exponential function is always positive.
+
und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.
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In particular, this means that
+
Besonders ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
-
which means that <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> is a local minimum.
+
und also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minima.

Version vom 17:06, 26. Apr. 2009

Nachdem die Funktion für alle x definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

f(x)=−3e−3x+5

und wir erhalten also die Gleichung

3e−3x=5

für die Wurzeln. Diese Gleichung hat die Lösung

x=−31ln35.

und also hat die Gleichung einen stationären Punkt in x=−31ln35.

Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.

Die zweite Ableitung ist

f(x)=−3(−3)e−3x=9e−3x

und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.

Besonders ist

f−31ln350 

und also ist x=−31ln35 ein lokales Minima.

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