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Lösung 1.3:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 1.3:3c moved to Lösung 1.3:3c: Robot: moved page)
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The only points which can possibly be local extreme points of the function are one of the following,
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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x) = 0\,</math>,
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# points where the function is not differentiable, and
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# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# endpoints of the interval of definition.
+
# Endpunkte.
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What determines the function's region of definition is <math>\ln x</math>, which is defined for <math>x > 0</math>, and this region does not have any endpoints (<math>x=0</math> does not satisfy <math>x>0</math>), so item 3 above does not give rise to any imaginable extreme points. Furthermore, the function is differentiable everywhere (where it is defined), because it consists of <math>x</math> and <math>\ln x</math> which are differentiable functions; so, item 2 above does not contribute any extreme points either.
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Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.
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All the remains are possibly critical points. We differentiate the function
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Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
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and see that the derivative is zero when
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Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
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In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative, <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, which gives that
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Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, und also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}
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which implies that <math>x=e^{-1}</math> is a local minimum.
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Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minima.

Version vom 17:14, 26. Apr. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, wo f(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass lnx nur definiert ist wenn x0. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (x=0 erfüllt nicht x0), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem x und lnx überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.

Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

f(x)=1lnx+xx1−0=lnx+1

Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn

lnx=−1x=e−1.

Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. f(x)=1x, und also ist

fe−1=1e−1=e0 

Also ist x=e−1 ein lokales Minima.

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