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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	As always, a function can only have local extreme points at one of the following types of points,	+	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
-	# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# points where the function is not differentiable, and	+	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
-	# endpoints of the interval of definition.	+	# Endpunkte.
-	We investigate these three cases.	+	Wir untersuchen die einzelnen Fälle
	<ol>		<ol>
-	<li>We obtain the critical points by setting the derivative equal to zero,	+	<li>Wir erhalten die stationären Punkte indem wir die Ableitung der Funktion als null setzen.
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	This expression for the derivative can only be zero when <math>x^2+x-2=0</math>, because <math>e^x</math> differs from zero for all values of <math>x</math>. We solve the second-degree equation by completing the square,	+	Die Ableitung ist null wenn <math>x^2+x-2=0</math> null ist, nachdem <math>e^x</math> immer größer aös null ist für alle <math>x</math>.Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	i.e. <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> and <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Both of these points lie within the region of definition, <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>	+	Also <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide dieser Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>
-	<li>The function is a polynomial <math>x^2-x-1</math> multiplied by the exponential function <math>e^x</math>, and, because both of these functions are differentiable, the product is also a differentiable function, which shows that the function is differentiable everywhere.</li>	+	<li>Die Funktion besteht aus einen Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Nachdem beide diese Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>
-	<li>The function's region of definition is <math>-3\le x\le 3</math> and the endpoints <math>x=-3</math> and <math>x=3</math> are therefore possible local extreme points.</li>	+	<li>Wir müssen auch die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.</li>
	</ol>		</ol>
-	All in all, there are four points <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> and <math>x=3</math> where the function possibly has local extreme points.	+	Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben.
-	Now, we will write down a table of the sign of the derivative, in order to investigate if the function has local extreme points.	+	Wir stellen eine Vorzeichentabelle auf um diese Punkte zu bestimmen.
-	We can factorize the derivative somewhat,	+	Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.
	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}}
-	since <math>x^2+x-2</math> has zeros at <math>x=-2</math> and <math>x=1</math>. Each individual factor in the derivative has a sign that is given in the table:	+	nachdem <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.
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-	The sign of the derivative is the product of these signs and from the derivative's sign we decide which local extreme points we have:	+	Das Vorzeichen der Ableitung ist der Produkt der Faktoren oben.
Zeile 118:		Zeile 118:
-	The function has local minimum points at <math>x=-3</math> and <math>x=1</math>, and local maximum points <math>x=-2</math> and <math>x=3</math>.	+	Die Funktion hat also ein lokales Minima in den Punkten <math>x=-3</math> und <math>x=1</math>, und ein lokales Maxima in den Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.

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Version vom 20:00, 26. Apr. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo f(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen die einzelnen Fälle

1. Wir erhalten die stationären Punkte indem wir die Ableitung der Funktion als null setzen.

   f(x)=(x2−x−1)ex+(x2−x−1)ex=(2x−1)ex+(x2−x−1)ex=(x2+x−2)ex.

   Die Ableitung ist null wenn x2+x−2=0 null ist, nachdem ex immer größer aös null ist für alle x.Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.

   x+212−212−2x+212x+21=0=49=23

   Also x=−21−23=−2 und x=−21+23=1. Beide dieser Punkte liegen im Intervall −3x3.
2. Die Funktion besteht aus einen Polynom x2−x−1 multipliziert mit einer Exponentialfunktion ex. Nachdem beide diese Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.
3. Wir müssen auch die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.

Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten x=−3, x=−2, x=1 und x=3 einen lokalen Extrempunkt haben.

Wir stellen eine Vorzeichentabelle auf um diese Punkte zu bestimmen.

Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

f(x)=(x2+x−2)ex=(x+2)(x−1)ex

nachdem x2+x−2 die Wurzeln x=−2 und x=1.

x	−3		−2		1		3
x+2	−	−	0	+	+	+	+
x−1	−	−	−	−	0	+	+
ex	+	+	+	+	+	+	+

Das Vorzeichen der Ableitung ist der Produkt der Faktoren oben.

x	−3		−2		1		3
f(x)		+	0	−	0	+
f(x)	11e−3		5e−2		−e		5e3

Die Funktion hat also ein lokales Minima in den Punkten x=−3 und x=1, und ein lokales Maxima in den Punkten x=−2 und x=3.