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Lösung 2.1:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The modulus function, <math>|x|</math>, strips <math>x</math> of its sign, e.g.
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Die Betragsfunktion <math>|x|</math>, returniert den Betrag von <math>x</math>, und nimmt also das Vorzeichen von <math>x</math> weg. Zum Beispiel ist
{{Abgesetzte Formel||<math>|-5|=5\,</math>, <math>\quad|3|=3\quad</math> and <math>\quad |-\pi|=\pi\,</math>.}}
{{Abgesetzte Formel||<math>|-5|=5\,</math>, <math>\quad|3|=3\quad</math> and <math>\quad |-\pi|=\pi\,</math>.}}
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For positive values of <math>x</math>, the modulus function has no effect, since
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Für positive <math>x</math>, ändert die Betragsfunktion nichts, nachdem
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<math>|x|=x</math>, but for negative <math>x</math> the modulus function changes the sign of <math>x</math>, i.e. <math>|x|=-x</math> (remember that <math>x</math>
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<math>|x|=x</math>, während die Betragsfunktion für negative <math>x</math> das Vorzeichen von <math>x</math>, i.e. <math>|x|=-x</math> ändert.
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is negative and therefore <math>-x</math> is positive).
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If we draw a graph of <math>y=|x|</math> it will consist of two parts. For
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Zeichnen wir den Graph von <math>y=|x|</math> besteht er aus zwei Teilen. Für
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<math>x\ge 0</math> we have <math>y=x</math>, and for <math>x\le 0</math> we have
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<math>x\ge 0</math>ist <math>y=x</math>, und für <math>x\le 0</math> ist
<math>y=-x\,</math>.
<math>y=-x\,</math>.
[[Image:2_1_1_d1.gif|center]]
[[Image:2_1_1_d1.gif|center]]
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The value of the integral is the area of the region under the graph <math>y=|x|</math> and between <math>x=-1</math> and <math>x=2</math>.
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Daher ist das Integral die Fläche unter der Funktion <math>y=|x|</math> zwischen <math>x=-1</math> und <math>x=2</math>.
[[Image:2_1_1_d2.gif|center]]
[[Image:2_1_1_d2.gif|center]]
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This region consists of two triangles and we therefore obtain
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Nachdem das Gebiet aus zwei Dreiecken besteht erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} |x|\,dx = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} |x|\,dx = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 16:30, 28. Apr. 2009

Die Betragsfunktion x, returniert den Betrag von x, und nimmt also das Vorzeichen von x weg. Zum Beispiel ist

−5=5, 3=3 and −=.

Für positive x, ändert die Betragsfunktion nichts, nachdem x=x, während die Betragsfunktion für negative x das Vorzeichen von x, i.e. x=−x ändert.

Zeichnen wir den Graph von y=x besteht er aus zwei Teilen. Für x0ist y=x, und für x0 ist y=−x.

Daher ist das Integral die Fläche unter der Funktion y=x zwischen x=−1 und x=2.

Nachdem das Gebiet aus zwei Dreiecken besteht erhalten wir

2−1xdx=2111+2122=25. 
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