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Lösung 3.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 3.3:2b moved to Lösung 3.3:2b: Robot: moved page)
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The equation <math>z^3=-1</math> is a so-called binomial equation, which we solve by writing both sides in polar form. We have
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Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 6: Zeile 6:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and, with the help of de Moivre's formula, the equation becomes
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und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
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Both sides are equal when their magnitudes are equal and the arguments differ by a multiple of <math>2\pi</math>,
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Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Beträge gleich sind, und deren Argumente sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 17: Zeile 17:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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which gives that
+
Dadurch erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 24: Zeile 24:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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For every third integer <math>n</math>, the solution formula gives in principal the same value for the argument (the difference is a multiple of <math>2\pi</math>), so the equation has in reality three solutions (for <math>n=0</math>, <math>1</math> and <math>\text{2}</math>),
+
Für jede Dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, und also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für <math>n=0</math>, für <math>1</math> und für <math>\text{2}</math>),
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
Zeile 38: Zeile 38:
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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We obtain the typical behaviour that the solutions are corner points in a regular polygon (a triangle in this case because the degree of the equation is 3.
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Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesen Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.
[[Image:3_3_2_b.gif|center]]
[[Image:3_3_2_b.gif|center]]

Version vom 15:21, 18. Mai 2009

Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform:

z−1=r(cos+isin)=1(cos+isin)

und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung

r3(cos3+isin3)=1(cos+isin).

Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Beträge gleich sind, und deren Argumente sich mit einen Multipel von 2 unterscheiden,

r33=1=+2n(n is an arbitrary integer), 

Dadurch erhalten wir

r=1=3+32n(n is an arbitrary integer).

Für jede Dritte ganze Zahl n, erhalten wir dieselbe Lösung, und also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für n=0, für 1 und für 2),

z=1cos3+isin31cos+isin1cos35+isin35=21+i3−121−i3.

Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesen Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.

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