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Lösung 3.3:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 3.3:4a moved to Lösung 3.3:4a: Robot: moved page)
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This is a typical binomial equation which we solve in polar form.
+
Diese Gleichung lösen wir am einfachsten indem wir sie in Polarform bringen,
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We write
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and, on using de Moivre's formula, the equation becomes
+
Durch den Moivreschen Gesetz erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Both sides are equal when
+
Die beiden Seiten sind gleich wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 19: Zeile 17:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
which gives that
+
und wir erhalten dadurch
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 26: Zeile 24:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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When <math>n=0</math> and <math>n=1</math>, we get two different arguments for
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Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wuzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.
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<math>\alpha</math>, whilst different values of <math>n</math> only give these arguments plus/minus a multiple of <math>2\pi</math>.
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The solutions to the equation are
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Die Wurzeln sind daher
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}

Version vom 15:57, 18. Mai 2009

Diese Gleichung lösen wir am einfachsten indem wir sie in Polarform bringen,

zi=r(cos+isin)=1cos2+isin2 

Durch den Moivreschen Gesetz erhalten wir

r2(cos2+isin2)=1cos2+isin2. 

Die beiden Seiten sind gleich wenn

r22=1=2+2n(n is an arbitrary integer),

und wir erhalten dadurch

r=1=4+n(n is an arbitrary integer).

Wenn n=0 und n=1, erhalten wir verschiedene Wuzeln, aber für andere n erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur mit einen Multipel von 2 im Argument unterscheiden.

Die Wurzeln sind daher

z=1cos4+isin41cos43+isin43=21+i−21+i.
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