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Lösung 3.3:5d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Let us first divide both sides by <math>4+i</math>, so that the coefficient in front of <math>z^2</math> becomes <math>1</math>,
+
Zuerst dividieren wir beide Seiten durch <math>4+i</math>, sodass wir den der Koeffizient von <math>z^2</math> 1 ist.
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 + \frac{1-21i}{4+i}z = \frac{17}{4+i}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 + \frac{1-21i}{4+i}z = \frac{17}{4+i}\,\textrm{.}</math>}}
-
The two complex quotients become
+
Die beiden komplexen Brüche sind
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 19: Zeile 19:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Thus, the equation becomes
+
Die Gleichung ist daher
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 - (1+5i)z = 4-i\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 - (1+5i)z = 4-i\,\textrm{.}</math>}}
-
Now, we complete the square of the left-hand side,
+
und durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 32: Zeile 32:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
If we set <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>, we have a binomial equation in <math>w</math>,
+
Lassen wir <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math> sein, erhalten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}
-
which we solve by putting <math>w=x+iy</math>,
+
die wir lösen indem wir annehmen dass <math>w=x+iy</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}
-
or, if the left-hand side is expanded,
+
oder, falls wir die linke Seie erweitern,
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-y^2+2xyi = -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-y^2+2xyi = -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}
-
If we identify the real and imaginary parts on both sides, we get
+
Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 51: Zeile 51:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and if we take the magnitude of both sides and put them equal to each other, we obtain a third relation:
+
Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung:
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{(-2)^2+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2} = \tfrac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{(-2)^2+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2} = \tfrac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
Strictly speaking, this last relation is contained within the first two and we include it because makes the calculations easier.
+
Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt, und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.
-
Together, the three relations constitute the following system of equations:
+
Wir erhalten die Gleichungen:
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 65: Zeile 65:
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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From the first and the third equations, we can relatively easily obtain the values that <math>x</math> and <math>y</math> can take.
+
Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht <math>x</math> und <math>y</math> lösen.
-
Add the first and third equations,
+
Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten,
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
||
||
Zeile 93: Zeile 93:
|}
|}
-
which gives that <math>x=\pm \tfrac{1}{2}</math>.
+
und wir erhalten <math>x=\pm \tfrac{1}{2}</math>.
-
Then, subtract the first equation from the third equation,
+
Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten,
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
||
||
Zeile 121: Zeile 121:
|}
|}
-
i.e. <math>y=\pm\tfrac{3}{2}</math>.
+
also <math>y=\pm\tfrac{3}{2}</math>.
-
This gives four possible combinations,
+
Dies ergibt vier mögliche Lösungen,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 145: Zeile 145:
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
-
of which only two also satisfy the second equation.
+
von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 157: Zeile 157:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
This means that the binomial equation has the two solutions,
+
Also erhalten wir die Lösungen
-
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad</math> and <math>\qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad</math> und <math>\qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i\,,</math>}}
-
and that the original equation has the solutions
+
und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen
-
{{Abgesetzte Formel||<math>z=1+4i\qquad</math> and <math>\qquad z=i</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=1+4i\qquad</math> und <math>\qquad z=i</math>}}
-
according to the relation <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>.
+
durch die Formel <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>.
-
Finally, we check that the solutions really do satisfy the equation.
+
Zuletzt kontrollieren wir ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen,
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}

Version vom 17:21, 18. Mai 2009

Zuerst dividieren wir beide Seiten durch 4+i, sodass wir den der Koeffizient von z2 1 ist.

z2+4+i1−21iz=174+i.

Die beiden komplexen Brüche sind

4+i1−21i174+i=(4+i)(4−i)(1−21i)(4−i)=42−i24−i−84i+21i2=16+1−17−85i=17−17−85i=−1−5i=17(4−i)(4+i)(4−i)=42−i217(4−i)=1717(4−i)=4−i.

Die Gleichung ist daher

z2−(1+5i)z=4−i.

und durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir

z−21+5i2−21+5i2z−21+5i2−41+25i+425i2z−21+5i2−41−25i+425z−21+5i2=4−i=4−i=4−i=−2+23i.

Lassen wir w=z−21+5i sein, erhalten wir die Gleichung

w2=−2+23i

die wir lösen indem wir annehmen dass w=x+iy,

(x+iy)2=−2+23i

oder, falls wir die linke Seie erweitern,

x2−y2+2xyi=−2+23i.

Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung erhalten wir

x2−y22xy=−2=23

Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung:

x2+y2=(−2)2+232=25. 

Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt, und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.

Wir erhalten die Gleichungen:

x2−y22xyx2+y2=−2=23=25.

Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht x und y lösen.

Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten,

x2 − y2 = −2
+   x2 + y2 = 25
2x2 = 21

und wir erhalten x=21.

Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten,

x2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle -\ \ \displaystyle \bigl(x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle -2\rlap{\bigr)}
\displaystyle 2y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{9}{2}

also \displaystyle y=\pm\tfrac{3}{2}.

Dies ergibt vier mögliche Lösungen,

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align} \right.

von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad\text{and}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right.

Also erhalten wir die Lösungen

\displaystyle w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad und \displaystyle \qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i\,,

und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle z=1+4i\qquad und \displaystyle \qquad z=i

durch die Formel \displaystyle w=z-\frac{1+5i}{2}.

Zuletzt kontrollieren wir ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen,

\displaystyle \begin{align} z=1+4i:\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)(1+4i)^2+(1-21i)(1+4i)\\[5pt] &= (4+i)(1+8i+16i^2)+(1+4i-21i-84i^2)\\[5pt] &= (4+i)(-15+8i)+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i+8i^2+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i-8+1-17i+84\\[5pt] &= 17\,,\\[10pt] z={}\rlap{i:}\phantom{1+4i:}{}\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)i^2 + (1-21i)i\\[5pt] &= (4+i)(-1)+i-21i^2\\[5pt] &= -4-i+i+21\\[5pt] &= 17\,\textrm{.} \end{align}

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