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Lösung 3.4:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 3.4:1c moved to Lösung 3.4:1c: Robot: moved page)
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-
If we focus on the leading term <math>x^3</math>, we need to complement it with <math>ax^2</math> in order to get a sub expression that is divisible by the denominator,
+
Wir addieren einen Term, sodass wir <math>x^3</math> los werden. Wir addieren und subtrahieren daher <math>ax^2</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}
-
With this form on the right-hand side, we can separate away the first two terms in the numerator and have left a polynomial quotient with <math>-ax^2+a^3</math> in the numerator,
+
Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wo wir den einen kürzen können,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 12: Zeile 12:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
When we treat the new quotient, we add and take away <math>-a^2x</math> to/from <math>-ax^2</math> in order to get something divisible by <math>x+a</math>,
+
Jetzt addieren und subtrahieren wir <math>-a^2x</math> zu/von <math>-ax^2</math> damit wir etwas teilbar durch <math>x+a</math> erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 22: Zeile 22:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
In the last quotient, the numerator has <math>x+a</math> as a factor, and we obtain a perfect division,
+
Im letzten Bruch haben wir <math>x+a</math> als Faktor im Zähler, und wir erhalten daher,
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}
-
If we have calculated correctly, we should have
+
Also erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}
-
and one way to check the answer is to multiply both sides by <math>x+a</math>,
+
Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit <math>x+a</math> multiplizieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}
-
Then, expand the right-hand side and we should get what is on the left-hand side,
+
Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{RHS}
+
\text{Rechte Seite}
&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]
&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]
&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]
&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]
&= x^3+a^3\\[5pt]
&= x^3+a^3\\[5pt]
-
&= \text{LHS.}
+
&= \text{Linke Seite.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Version vom 13:09, 21. Mai 2009

Wir addieren einen Term, sodass wir x3 los werden. Wir addieren und subtrahieren daher ax2,

x+ax3+a3=x+ax3+ax2−ax2+a3.

Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wo wir den einen kürzen können,

x+ax3+ax2−ax2+a3=x+ax3+ax2+x+a−ax2+a3=x+ax2(x+a)+x+a−ax2+a3=x2+x+a−ax2+a3.

Jetzt addieren und subtrahieren wir −a2x zu/von −ax2 damit wir etwas teilbar durch x+a erhalten,

x2+x+a−ax2+a3=x2+x+a−ax2−a2x+a2x+a3=x2+x+a−ax2−a2x+x+aa2x+a3=x2+x+a−ax(x+a)+x+aa2x+a3=x2−ax+x+aa2x+a3.

Im letzten Bruch haben wir x+a als Faktor im Zähler, und wir erhalten daher,

x2−ax+x+aa2x+a3=x2−ax+x+aa2(x+a)=x2−ax+a2.

Also erhalten wir

x+ax3+a3=x2−ax+a2

Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit x+a multiplizieren,

x3+a3=(x2−ax+a2)(x+a).

Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten,

Rechte Seite=(x2−ax+a2)(x+a)=x3+ax2−ax2−a2x+a2x+a3=x3+a3=Linke Seite.
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