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Lösung 3.4:2

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If the equation has the root <math>z=1</math>, this means, according to the factor rule, that the equation must contain the factor <math>z-1</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as
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Nachdem das Polynom die Nullstelle <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, und daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}
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for some constants <math>A</math> and <math>B</math>. We can determine the second unknown factor using polynomial division,
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für welche konstanten <math>A</math> und <math>B</math>. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Thus, the equation can be written as
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Daher ist unsere Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor
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Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
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<math>z^2-2z+2</math>. This is because the left-hand side is zero only when at least one of the factors <math>z-1</math> or <math>z^2-2z+2</math> is zero, and we see directly that <math>z-1</math> is zero only when <math>z=1\,</math>.
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<math>z^2-2z+2</math> sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt dass <math>z-1</math> nur null ist wenn <math>z=1\,</math>.
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Hence, we determine the roots by solving the equation
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Wir bestimmen die restlichen Nullstellen indem wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Completing the square gives
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durch quadratische Ergänzung lösen,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 36: Zeile 36:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and taking the root gives that <math>z-1=\pm i</math>, i.e. <math>z=1-i</math> and
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und wir erhalten <math>z-1=\pm i</math>, also <math>z=1-i</math> und
<math>z=1+i\,</math>.
<math>z=1+i\,</math>.
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The equation's other roots are <math>z=1-i</math> and <math>z=1+i\,</math>.
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Die anderen Nullstellen sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>.
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As an extra check, we investigate whether <math>z = 1 \pm i</math> really are roots of the equation.
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Wir kontrollieren schnell ob <math>z = 1 \pm i</math> Nullstellen der Gleichung sind,
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
Zeile 64: Zeile 64:
&= 0\,\textrm{.}
&= 0\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
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Note: Writing
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2</math>}}
 
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is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.
 

Version vom 13:59, 21. Mai 2009

Nachdem das Polynom die Nullstelle z=1 hat, ist z−1 ein Faktor im Polynom, und daher ist

z3−3z2+4z−2=(z2+Az+B)(z−1)

für welche konstanten A und B. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen,

z2+Az+B=z−1z3−3z2+4z−2=z−1z3−z2+z2−3z2+4z−2=z−1z2(z−1)−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+4z−2=z2+z−1−2z2+2z−2z+4z−2=z2+z−1−2z(z−1)+2z−2=z2−2z+z−12z−2=z2−2z+z−12(z−1)=z2−2z+2.

Daher ist unsere Gleichung

(z−1)(z2−2z+2)=0.

Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von z2−2z+2 sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn z−1 oder wenn z2−2z+2 null ist. Wir sehen direkt dass z−1 nur null ist wenn z=1.

Wir bestimmen die restlichen Nullstellen indem wir die Gleichung

z2−2z+2=0.

durch quadratische Ergänzung lösen,

(z−1)2−12+2(z−1)2=0=−1

und wir erhalten z−1=i, also z=1−i und z=1+i.

Die anderen Nullstellen sind also z=1−i und z=1+i.


Wir kontrollieren schnell ob z=1i Nullstellen der Gleichung sind,

z=1+i:z3−3z2+4z−2z=1−i:z3−3z2+4z−2=(z−3)z+4z−2=(1+i−3)(1+i)+4(1+i)−2=(−2+i)(1+i)+4(1+i)−2=(−2+i−2i−1+4)(1+i)−2=(1−i)(1+i)−2=12−i2−2=1+1−2=0=(z−3)z+4z−2=(1−i−3)(1−i)+4(1−i)−2=(−2−i)(1−i)+4(1−i)−2=(−2−i+2i−1+4)(1−i)−2=(1+i)(1−i)−2=12−i2−2=1+1−2=0.

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