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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Because <math>z=1-2i</math> should be a root of the equation, we can substitute	+	Nachdem <math>z=1-2i</math> eine Wurzel (Nullstelle) der Gleichung ist, können wir
-	<math>z=1-2i</math> in and the equation should be satisfied,	+	<math>z=1-2i</math> substituieren,
	{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	We will therefore adjust the constants <math>a</math> and <math>b</math> so that the relation above holds. We simplify the left-hand side,	+	Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten,
	{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}
-	and collect together the real and imaginary parts,	+	und separieren den Real- und Imaginärteil,
	{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}
-	If the left-hand side is to equal the right-hand side, the left-hand side's real and imaginary parts must be equal to zero, i.e.	+	und erhalten,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	This gives <math>a=1</math> and <math>b=10</math>.	+	Dies ergibt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.
-	The equation is thus	+	Die Gleichung ist daher
	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10=0</math>}}
-	and has the prescribed root <math>z=1-2i</math>.	+	und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.
-	What we have is a polynomial with real coefficients and we therefore know that the equation has, in addition, the complex conjugate root <math>z=1+2i</math>.	+	Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir dass auch <math>z=1+2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist.
-	Hence, we know two of the equation's three roots and we can obtain the third root with help of the factor theorem. According to the factor theorem, the equation's left-hand side contains the factor	+	Also wird das Polynom den Faktor
	{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}
-	and this means that we can write	+	enthalten, und also ist
	{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}
-	where <math>z-A</math> is the factor which corresponds to the third root <math>z=A</math>. Using polynomial division, we obtain the factor	+	wo <math>z-A</math> der Faktor ist der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Thus, the remaining root is <math>z=-2</math>.	+	Also ist die letzte Wurzel <math>z=-2</math>.

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Version vom 14:10, 21. Mai 2009

Nachdem z=1−2i eine Wurzel (Nullstelle) der Gleichung ist, können wir z=1−2i substituieren,

(1−2i)3+a(1−2i)+b=0.

Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir a und b bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten,

−11+2i+a(1−2i)+b=0

und separieren den Real- und Imaginärteil,

(−11+a+b)+(2−2a)i=0.

und erhalten,

−11+a+b2−2a=0=0.

Dies ergibt a=1 und b=10.

Die Gleichung ist daher

z3+z+10=0

und hat die eine Wurzel z=1−2i.

Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir dass auch z=1+2i eine Wurzel der Gleichung ist.

Also wird das Polynom den Faktor

z−(1−2i)z−(1+2i)=z2−2z+5

enthalten, und also ist

z3+z+10=(z−A)(z2−2z+5)

wo z−A der Faktor ist der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

z−A=z2−2z+5z3+z+10=z2−2z+5z3−2z2+5z+2z2−5z+z+10=z2−2z+5z(z2−2z+5)+2z2−4z+10=z+z2−2z+52z2−4z+10=z+z2−2z+52(z2−2z+5)=z+2.

Also ist die letzte Wurzel z=−2.