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Lösung 3.4:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Solution 3.4:5 moved to Lösung 3.4:5: Robot: moved page)
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A polynomial is said to have a triple root <math>z=c</math> if the equation contains the factor <math>(z-c)^3</math>.
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Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math> wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.
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For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as
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In unseren Fall bedeutet dies dass
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}
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according to the factor theorem, where <math>z=c</math> is the triple root and
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wo <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist, und
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<math>z=d</math> is the equation's fourth root (according to the fundamental theorem of algebra, a fourth-order equation always has four roots, taking into account multiplicity).
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<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, nachdem ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.
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We will now try to determine <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> and <math>d</math> so that both sides in the factorization above agree.
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Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> sodass die obere Gleichung stimmt.
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If we expand the right-hand side above, we get
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Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 20: Zeile 20:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and this means that we must have
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und daher muss
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
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Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives
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Nachdem zwei Polynome gleich sind nur dann wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 33: Zeile 33:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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From the first equation, we obtain <math>d=-3c</math> and substituting this into the second equation gives us an equation for <math>c</math>,
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Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 40: Zeile 40:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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i.e. <math>c=-1</math> or <math>c=1</math>. The relation <math>d=-3c</math> gives that the corresponding values for <math>d</math> are <math>d=3</math> and <math>d=-3</math>. The two last equations give us the corresponding values for
+
also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Nachdem <math>d=-3c</math> ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir
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<math>a</math> and <math>b</math>,
+
<math>a</math> und <math>b</math>,
Zeile 51: Zeile 51:
\end{align}</math>
\end{align}</math>
 +
Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
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Therefore, there are two different answers,
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:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>,
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:*<math>a=8</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=1</math> and the single root <math>z=-3</math>,
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:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math>,
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:*<math>a=10</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=-1</math> and the single root <math>z=3</math>.
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Version vom 14:17, 21. Mai 2009

Ein Polynom hat die dreifache Wurzel z=c wenn das Polynom den Faktor (z−c)3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies dass

z4−6z2+az+b=(z−c)3(z−d)

wo z=c die dreifache Wurzel ist, und z=d die vierte Wurzel ist, nachdem ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.

Wir bestimmen jetzt a, b, c und d sodass die obere Gleichung stimmt.

Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir

(z−c)3(z−d)=(z−c)2(z−c)(z−d)=(z2−2cz+c2)(z−c)(z−d)=(z3−3cz2+3c2z−c3)(z−d)=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c−3d)z+c3d

und daher muss

z4−6z2+az+b=z4−(3c+d)z3+3c(c+d)z2−c2(c−3d)z+c3d.

Nachdem zwei Polynome gleich sind nur dann wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

3c+d3c(c+d)−c2(c−3d)c3d=0=−6=a=b.

Von der ersten Gleichung erhalten wir d=−3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für c,

3c(c−3c)−6c2=−6=−6

also c=−1 oder c=1. Nachdem d=−3c ist d=3 oder d=−3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir a und b,


c=1 d=−3:abc=−1 d=3:ab=−12(1−3(−3))=8=13(−3)=−3=−(−1)2(−1−33)=10=(−1)33=−3.

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

  • a=8 und b=−3 ergibt eine dreifache Wurzel in z=1 und eine einfache Wurzel in z=−3,
  • a=10 und b=−3 ergibt eine dreifache Wurzel in z=−1 und eine einfache Wurzel in z=3,
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