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Lösung 3.4:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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First, we try to determine the pure imaginary root.
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Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.
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We can write the imaginary root as <math>z=ia</math>, where <math>a</math> is a real number. If we substitute in <math>z=ia</math>, the equation should then be satisfied,
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Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wo <math>a</math> eine reelle Konstante ist Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
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i.e.
+
also
{{Abgesetzte Formel||<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}
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and, if collect together the real and imaginary parts on the left-hand side, we have
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Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}
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If both sides are to be equal, the left-hand side's real and imaginary parts must be zero,
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und also,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 20: Zeile 20:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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The other relation gives <math>a=0</math> or <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, but it is only <math>a=\pm\sqrt{6}</math> which satisfies the first relation.
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Die zweite Gleichung gibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.
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Thus, the equation <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> has two pure imaginary roots, <math>z=-i\sqrt{6}</math> and <math>z=i\sqrt{6}</math>. Note that it is completely normal to obtain two imaginary roots. The polynomial equation has real coefficients and must therefore have complex conjugate roots.
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Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies ist ganz erwartet, nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.
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Now we tackle the problem of determining the equation's other two roots. Because we know that the equation has the two roots <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, the factor theorem gives that the equation contains the factor
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Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, enthält das Polynom den Faktor
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}}
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i.e. we can factorize the left-hand side of the equation in the following way,
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und daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}
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where the equation's two other roots are zeros of the unknown factor <math>z^{2}+Az+B</math>.
+
Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.
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We determine the factor <math>z^2+Az+B</math> by means of a polynomial division (divide both sides by <math>z^2+6</math>),
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Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 49: Zeile 49:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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To obtain the two remaining roots, we need therefore to solve the equation
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Also müssen wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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We complete the square
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lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 60: Zeile 60:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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which gives that <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
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Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
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The answer is that the equation has the roots
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Die Gleichung hat also die Wurzeln
{{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 14:27, 21. Mai 2009

Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.

Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie z=ia schreiben, wo a eine reelle Konstante ist Substituieren wir z=ia im Polynom, erhalten wir

(ia)4+3(ia)3+(ia)2+18(ia)−30=0

also

a4−3a3i−a2+18ai−30=0

Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir

(a4−a2−30)+a(−3a2+18)i=0.

und also,

a4−a2−30a(−3a2+18)=0=0. 

Die zweite Gleichung gibt a=0 oder a=6 , aber nur a=6  erfüllt auch die erste Gleichung.

Daher hat die Gleichung z4+3z3+z2+18z−30=0 die zwei rein imaginären Wurzeln z=−i6  und z=i6 . Dies ist ganz erwartet, nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.

Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln z=i6 , enthält das Polynom den Faktor

(z−i6)(z+i6)=z2+6 

und daher ist

z4+3z3+z2+18z−30=(z2+Az+B)(z2+6)

Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von z2+Az+B sind.

Wir bestimmen den Faktor z2+Az+B durch Polynomdivision,

z2+Az+B=z2+6z4+3z3+z2+18z−30=z2+6z4+6z2−6z2+3z3+z2+18z−30=z2+6z2(z2+6)+3z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3−5z2+18z−30=z2+z2+63z3+18z−18z−5z2+18z−30=z2+z2+63z(z2+6)−5z2−30=z2+3z+z2+6−5z2−30=z2+3z+z2+6−5(z2+6)=z2+3z−5.

Also müssen wir die Gleichung

z2+3z−5=0.

lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung,

z+232−232−5z+232=0=429

Dies ergibt also z=−23229 .

Die Gleichung hat also die Wurzeln

z=−i6 , z=i6 , z=−23−229 , z=−23+229. 
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