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Lösung 1.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
-
# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-
# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
+
# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
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<ol>
<ol>
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<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ist
+
<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
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und ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also wenn <math>x=1\,</math>.</li>
+
ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li>
-
<li>Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar.</li>
+
<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
-
<li>Die Funktion ist überall definiert, und also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>
+
<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>
</ol>
</ol>
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Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und also ist <math>x=1\,</math> der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.
+
Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und so ist <math>x=1\,</math> der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen, ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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Nachdem die Ableitung lings von <math>x=1</math> negativ ist, und rechts von <math>x=1</math> positiv ist, ist <math>x=1</math> ein lokales Minima.
+
Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> ein lokales Minimum.
Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]
[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]

Version vom 15:24, 4. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, mit f(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Wir untersuchen alle drei Fälle.

  1. Die Ableitung von f(x)
    f(x)=2x−2
    ist null wenn 2x−2=0, also für x=1.
  2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.

Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und so ist x=1 der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen, ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.

x 1
f(x) − 0 +
f(x) 0

Da die Ableitung links von \displaystyle x=1 negativ ist und rechts von \displaystyle x=1 positiv, ist \displaystyle x=1 ein lokales Minimum.

Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.

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