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Lösung 1.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Der Volumen ist
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Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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[[Image:1_3_6_1.gif|center]]
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Das Problem ist also; Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während der Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math>, konstant ist.
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Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
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Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumen,
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Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens,
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
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::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
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Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), und also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.
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Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.
Die Ableitung ist
Die Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}
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Und die Ableitung gleich null ergibt folgende Gleichung
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Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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im stationären Punkt.
im stationären Punkt.
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Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima.
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Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minimum.
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Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minima.
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Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minimum.
Also ist die Fläche minimal wenn
Also ist die Fläche minimal wenn

Version vom 10:26, 5. Aug. 2009

Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist

VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh.

Das Problem ist also: Minimiere die Fläche A=r2+2h, während das Volumen V=r2h konstant ist.

Wir schreiben h als Funktion des Volumens,

h=Vr2

und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben,

A=r2+2rVr2=r2+r2V.

Unser Problem ist dann

Minimiere die Flächea A(r)=r2+r2V, wenn r0.

Die Funktion A(r) ist für alle r0 differenzierbar, und der Bereich r0 hat keine Endpunkte (nachdem r=0 nicht r0 erfüllt), also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.

Die Ableitung ist

A(r)=2r−r22V

Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung

2r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V.

Die zweite Ableitung ist

A(r)=2+r34V

und hat den Wert

A3V=2+4VV=60 

im stationären Punkt.

Also ist r=3V  ein lokales Minimum.

Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird, wenn r0 oder wenn r. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen r0 und r, also ist r=3V  ein globales Minimum.

Also ist die Fläche minimal wenn

rh=3Vand=Vr2=VV−23=V1−23=V13=3V. 
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