Lösung 1.1:5
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
- | Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> | + | Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also |
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}} | {{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}} | ||
- | Schreiben wir die Tangente | + | Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>, |
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}} | {{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}} | ||
- | Die | + | Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt |
{{Abgesetzte Formel||<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>|(3)}} | {{Abgesetzte Formel||<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>|(3)}} | ||
- | + | Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt | |
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>|(4)}} | {{Abgesetzte Formel||<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>|(4)}} | ||
Zeile 17: | Zeile 17: | ||
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>. | Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>. | ||
- | + | Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'', | |
- | + | Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math> Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert | |
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}} | ||
- | Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und | + | Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math-> |
und <math>y_0</math>-Terme, | und <math>y_0</math>-Terme, | ||
Version vom 12:08, 7. Aug. 2009
Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt y0)
(1) |
Schreiben wir die Tangente als =−2x
(2) |
Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt y0)
![]() | (3) |
Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt
![]() | (4) |
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten
Da wir
Aus der Gleichung (2) folgt, dass
![]() |
Jetzt haben wir k, und m in Termen von
(3') |
Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für
![]() ![]() ![]() ![]() |
Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur
![]() |
also
Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
![]() ![]() |
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert,
![]() ![]() |
Also erhalten wir die Punkte 2
−3+2
2)
2
−3−2
2)