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Lösung 1.1:2f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (11:13, 19. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 4 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
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We can rewrite the function using a trigonometric addition formula,
+
Wir verwenden das Additionstheorem für den Cosinus.
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{{Abgesetzte Formel||<math>f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{}</math>}}
-
If we now differentiate this expression, <math>\cos (\pi/3)</math> and <math>\sin (\pi/3)</math> are constants and we obtain
+
Wenn wir die Funktion ableiten, bedenken wir, dass <math>\cos (\pi/3)</math> und <math>\sin (\pi/3)</math> Konstanten sind.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 9: Zeile 9:
&= \frac{d}{dx}\,\Bigl(\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3} \Bigr)\\[5pt]
&= \frac{d}{dx}\,\Bigl(\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3} \Bigr)\\[5pt]
&= \cos\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\sin x\\[5pt]
&= \cos\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\sin x\\[5pt]
-
&= \cos\frac{\pi}{3}\cdot (-\sin x) - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos x\,\textrm{.}
+
&= \cos\frac{\pi}{3}\cdot (-\sin x) - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos x\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
If we then use the addition formula in reverse, this gives
+
Verwenden wir wieder das Additionstheorem, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Note: In the next section, we will go through differentiation rules which make it possible to differentiate the expression directly without rewriting in this way.
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Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir, dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können, ohne die Additionsthoreme benutzen zu müssen.

Aktuelle Version

Wir verwenden das Additionstheorem für den Cosinus.

f(x)=cosx+3=cosxcos3−sinxsin3 

Wenn wir die Funktion ableiten, bedenken wir, dass cos(3) und sin(3) Konstanten sind.

f(x)=ddxcosxcos3−sinxsin3=cos3ddxcosx−sin3ddxsinx=cos3(−sinx)−sin3cosx

Verwenden wir wieder das Additionstheorem, erhalten wir

f(x)=−sinxcos3+cosxsin3=−sinx+3.


Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir, dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können, ohne die Additionsthoreme benutzen zu müssen.

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