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Lösung 1.1:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
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Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,
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Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung <math>y^{\,\prime} = -2x</math> im Punkt <math>x=x_0</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{}</math>|(2)}}
Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
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Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
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Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',
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Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m''.
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Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math> Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert
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Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math>. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
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Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math->
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Jetzt haben wir ''k'' und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math->
und <math>y_0</math>-Terme,
und <math>y_0</math>-Terme,

Version vom 13:55, 19. Aug. 2009

Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt (x0y0) berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

y0=−x20. (1)

Schreiben wir die Tangente als y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung y=−2x im Punkt x=x0.

k=−2x0 (2)

Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (x0y0) geht, gibt

y0=kx0+m. (3)

Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

1=k1+m. (4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten x0, y0, k und m.

Da wir x0 und y0 suchen, eliminieren wir zuerst k und m.

Aus der Gleichung (2) folgt, dass k=−2x0. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

1=−2x0+mm=2x0+1.

Jetzt haben wir k und m in Termen von x0 und y0 ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur x0undy0-Terme,

y0=−2x20+2x0+1. (3')

Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für x0 und y0,

y0y0=−x20=−2x20+2x0+1.

Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur x0,

−x20=−2x20+2x0+1

also

x20−2x0−1=0.

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

x0=1−2andx0=1+2. 

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert,

y0=−3+22andy0=−3−22. 

Also erhalten wir die Punkte (1−2−3+22)  und (1+2−3−22) .

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