Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 1.1:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 23: Zeile 23:
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
-
Jetzt haben wir ''k'' und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math->
+
Jetzt haben wir ''k'' und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math>-
-
und <math>y_0</math>-Terme,
+
und <math>y_0</math>-Terme.
-
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>|(3')}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}</math>|(3')}}
-
Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>,
+
Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
-
y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}
+
y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>,
+
Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
Zeile 47: Zeile 47:
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert,
+
Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert
-
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und
Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und

Version vom 14:01, 19. Aug. 2009

Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt (x0y0) berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

y0=−x20. (1)

Schreiben wir die Tangente als y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung y=−2x im Punkt x=x0.

k=−2x0 (2)

Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (x0y0) geht, gibt

y0=kx0+m. (3)

Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

1=k1+m. (4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten x0, y0, k und m.

Da wir x0 und y0 suchen, eliminieren wir zuerst k und m.

Aus der Gleichung (2) folgt, dass k=−2x0. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

1=−2x0+mm=2x0+1.

Jetzt haben wir k und m in Termen von x0 und y0 ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur x0- und y0-Terme.

y0=−2x20+2x0+1 (3')

Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für x0 und y0.

y0y0=−x20=−2x20+2x0+1

Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur x0.

−x20=−2x20+2x0+1

also

x20−2x0−1=0.

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

x0=1−2andx0=1+2. 

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert

y0=−3+22undy0=−3−22. 

Also erhalten wir die Punkte (1−2−3+22)  und (1+2−3−22) .

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.1:5“