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Lösung 1.2:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir betrachten die Funktion wie "Der Logarithmus von irgendetwas",
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Wir betrachten die Funktion als "den Logarithmus von irgendetwas"
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\ln x}}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\ln x}}\,,</math>}}
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wo das "irgendetwas" <math>\ln x</math> ist.
wo das "irgendetwas" <math>\ln x</math> ist.
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Nachdem die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel,
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Da die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,</math>}}
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wo der erste Faktor <math>1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> die äußere Ableitung von <math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> ist, und der zweite Faktor <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'</math> die innere Ableitung ist. Wir erhalten also
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wo der erste Faktor <math>1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> die äußere Ableitung von <math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> ist und der zweite Faktor <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'</math> die innere Ableitung ist. Wir erhalten also
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 07:47, 20. Aug. 2009

Wir betrachten die Funktion als "den Logarithmus von irgendetwas"

ln

wo das "irgendetwas" lnx ist.

Da die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel

ddxlnlnx=1lnxlnx 

wo der erste Faktor 1lnx die äußere Ableitung von lnlnx ist und der zweite Faktor lnx  die innere Ableitung ist. Wir erhalten also

ddxlnlnx=1lnxx1=1xlnx.