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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Als ersten Schritt berechnen wir die Ableitung der äußeren Logarithmusfunktion.
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-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr) = {}\rlap{\frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)'\,\textrm{}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
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-	<center> [[Image:1_2_3a-2(2).gif]] </center>	+	Wir leiten den Ausdruck <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+1}</math> Term für Term ab und erhalten
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{} = {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \bigl[ (\sqrt{x})' + (\sqrt{x+1})'\bigr]\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
		+
		+	Danach leiten wir die Funktionen <math>\sqrt{x}</math> und <math>\sqrt{x+1}</math> direkt ab.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
		+	&= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot 1\Bigr]\,\textrm{}
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Schreiben wir die Brüche mit gemeinsamen Nenner erhalten wir
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
		+	= {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}} \Bigr]\,.}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
		+
		+	Wir kürzen den Bruch mit <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{x}</math> und erhalten
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
		+	= {}\rlap{\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\,\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}

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Aktuelle Version

Als ersten Schritt berechnen wir die Ableitung der äußeren Logarithmusfunktion.

ddxlnx+x+1=1x+x+1x+x+1

Wir leiten den Ausdruck x+x+1  Term für Term ab und erhalten

=1x+x+1(x)+(x+1).

Danach leiten wir die Funktionen x  und x+1  direkt ab.

=1x+x+112x+12x+1(x+1)=1x+x+112x+12x+11

Schreiben wir die Brüche mit gemeinsamen Nenner erhalten wir

=1x+x+12xx+1x+1+x

Wir kürzen den Bruch mit x+1+x  und erhalten

=12xx+1.