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Lösung 1.2:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
The outer function in the expression is "the root of something",
+
Die äußere Funktion ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } }</math>}}
-
<math>\sqrt{\left\{ \left. \frac{x+1}{x-1} \right\} \right.}</math>
+
und mit der Kettenregel erhalten wir die Ableitung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } } = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\dfrac{x+1}{x-1} } } }\cdot \Bigl( \frac{x+1}{x-1}\Bigr)'\,\textrm{.}</math>}}
-
and differentiating with the chain rule gives
+
Die innere Ableitung berechnen wir mit der Quotientenregel
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{d}{dx}\,\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}
 +
&= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot\frac{(x+1)'\cdot (x-1) - (x+1)\cdot (x-1)'}{(x-1)^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot \frac{1\cdot (x-1) - (x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot \frac{-2}{(x-1)^2}\\[5pt]
 +
&= -\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}\\[5pt]
 +
&= -\frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}\,,
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\frac{d}{dx}\sqrt{\left\{ \left. \frac{x+1}{x-1} \right\} \right.}=\frac{1}{2\sqrt{\left\{ \left. \frac{x+1}{x-1} \right\} \right.}}\centerdot \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^{\prime }</math>
+
wo wir die Vereinfachungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{x-1}}{(x-1)^2}
 +
= \frac{(x-1)^{1/2}}{(x-1)^2}
 +
= (x-1)^{1/2-2}
 +
= (x-1)^{-3/2}
 +
= \frac{1}{(x-1)^{3/2}}\,\textrm{}</math>}}
-
We establish the inner derivative by using the quotient rule,
+
verwendet haben.
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{d}{dx}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\centerdot \frac{\left( x+1 \right)^{\prime }\centerdot \left( x-1 \right)-\left( x+1 \right)\centerdot \left( x-1 \right)^{\prime }}{\left( x-1 \right)^{2}} \\
+
-
& =\frac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\centerdot \frac{1\centerdot \left( x-1 \right)-\left( x+1 \right)\centerdot 1}{\left( x-1 \right)^{2}} \\
+
-
& =\frac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\centerdot \frac{-2}{\left( x-1 \right)^{2}} \\
+
-
& =-\sqrt{\frac{x-1}{x+1}\centerdot }\frac{1}{\left( x-1 \right)^{2}} \\
+
-
& =-\frac{1}{\left( x-1 \right)^{{3}/{2}\;}\sqrt{x+1}} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
where we have used the simplification
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\frac{\sqrt{x-1}}{\left( x-1 \right)^{2}}=\frac{\left( x-1 \right)^{{1}/{2}\;}}{\left( x-1 \right)^{2}}=\left( x-1 \right)^{\frac{1}{2}-2}=\left( x-1 \right)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{\left( x-1 \right)^{\frac{3}{2}}}</math>
+

Aktuelle Version

Die äußere Funktion ist

x−1x+1 

und mit der Kettenregel erhalten wir die Ableitung

ddxx−1x+1=12x−1x+1x−1x+1.

Die innere Ableitung berechnen wir mit der Quotientenregel

ddxx−1x+1=12x−1x+1(x−1)2(x+1)(x−1)−(x+1)(x−1)=12x−1x+1(x−1)21(x−1)−(x+1)1=12x−1x+1−2(x−1)2=−x+1x−11(x−1)2=−1(x−1)32x+1

wo wir die Vereinfachungen

x−1(x−1)2=(x−1)2(x−1)12=(x−1)12−2=(x−1)−32=1(x−1)32

verwendet haben.

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