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Lösung 1.2:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (10:44, 20. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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-
We can write the expression as
+
Wir schreiben unseren Ausdruck wie folgt
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} = \bigl(x\sqrt{1-x^2}\,\bigr)^{-1}\,\textrm{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} = \bigl(x\sqrt{1-x^2}\,\bigr)^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
-
and then we see that we have "something raised to -1", which can be differentiated one step by using the chain rule,
+
Wir sehen, dass die äußere Funktion "irgendetwas hoch -1" ist. Verwenden wir die Kettenregel, erhalten wir die Ableitung.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= {}\rlap{-1\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-2}\bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)'}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt]
&= {}\rlap{-1\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-2}\bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)'}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt]
&= -\frac{1}{\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}\cdot \bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\\[5pt]
&= -\frac{1}{\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}\cdot \bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\\[5pt]
-
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\,\textrm{.}
+
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The next step is to differentiate the product <math>x\cdot\sqrt{1-x^2}</math> using the product rule,
+
Die Ableitung von <math>x\cdot\sqrt{1-x^2}</math> erhalten wir durch die Faktorregel.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-1}}{}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-1}}{}
&= {}\rlap{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl( (x)'\sqrt{1-x^2} + x(\sqrt{1-x^2})'\Bigr)}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt]
&= {}\rlap{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl( (x)'\sqrt{1-x^2} + x(\sqrt{1-x^2})'\Bigr)}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt]
-
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl(1\cdot\sqrt{1-x^2} + x\cdot (\sqrt{1-x^2})'\Bigr)\,\textrm{.}
+
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl(1\cdot\sqrt{1-x^2} + x\cdot (\sqrt{1-x^2})'\Bigr)\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The expression <math>\sqrt{1-x^2}</math> is of the type "square root of something", so we use the chain rule to differentiate,
+
Wir verwenden wieder die Kettenregel, um <math>\sqrt{1-x^2}</math> abzuleiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)\\[5pt]
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)\\[5pt]
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot ( -2x)\Bigr)\\[5pt]
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot ( -2x)\Bigr)\\[5pt]
-
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr)\,\textrm{.}
+
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr)\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
We write the expression on the right over a common denominator,
+
Schreiben wir den Ausdruck mit gemeinsamen Nenner, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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-
Note: When we make simplifications of the form <math>\bigl(\sqrt{1-x^2} \bigr)^2 = 1-x^2</math>, we assume that both sides are well defined (i.e. in this case that <math>x</math> lies between -1 and 1).
+
Hinweis: Wenn wir Vereinfachungen wie <math>(\sqrt{1-x^2} \bigr)^2 = 1-x^2</math> erstellen, nehmen wir an, dass beide Seiten definiert sind (in diesem Fall, dass <math>x</math> zwischen -1 und 1 liegt).

Aktuelle Version

Wir schreiben unseren Ausdruck wie folgt

1x1−x2=x1−x2−1.

Wir sehen, dass die äußere Funktion "irgendetwas hoch -1" ist. Verwenden wir die Kettenregel, erhalten wir die Ableitung.

ddxx1−x2−1=−1x1−x2−2x1−x2=−1x1−x22x1−x2=−1x2(1−x2)x1−x2

Die Ableitung von x1−x2  erhalten wir durch die Faktorregel.

=−1x2(1−x2)(x)1−x2+x(1−x2)=−1x2(1−x2)11−x2+x(1−x2)

Wir verwenden wieder die Kettenregel, um 1−x2  abzuleiten.

=−1x2(1−x2)1−x2+x121−x2(1−x2)=−1x2(1−x2)1−x2+x121−x2(−2x)=−1x2(1−x2)1−x2−x21−x2

Schreiben wir den Ausdruck mit gemeinsamen Nenner, erhalten wir

=−1x2(1−x2)1−x21−x22−x2=−1x2(1−x2)1−x21−x2−x2=−1−2x2x2(1−x2)32.


Hinweis: Wenn wir Vereinfachungen wie (1−x22=1−x2  erstellen, nehmen wir an, dass beide Seiten definiert sind (in diesem Fall, dass x zwischen -1 und 1 liegt).

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