Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 1.2:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (11:03, 20. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 4 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
We are to differentiate the expression two times, so we start by differentiating once. The quotient rule gives
+
Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
 +
&= {}\rlap{\frac{(x)'\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{1\cdot\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{1-x^2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Die Ableitung <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> erhalten wir durch die Kettenregel.
-
& \frac{d}{dx}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\left( x \right)^{\prime }\sqrt{1-x^{2}}-x\left( \sqrt{1-x^{2}} \right)^{\prime }}{\left( \sqrt{1-x^{2}} \right)^{2}} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{1\centerdot \sqrt{1-x^{2}}-x\left( \sqrt{1-x^{2}} \right)^{\prime }}{1-x^{2}} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
 +
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{}
 +
\end{align}</math>}}
-
We determine the derivative
+
Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.
-
<math>\left( \sqrt{1-x^{2}} \right)^{\prime }</math>
+
-
by using the chain rule
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
 +
&= {}\rlap{\frac{\sqrt{1-x^2} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Die zweite Ableitung ist
-
& =\frac{\sqrt{1-x^{2}}-x\centerdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\centerdot \left( 1-x^{2} \right)^{\prime }}{1-x^{2}} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{\sqrt{1-x^{2}}-x\centerdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\centerdot \left( -2x \right)}{1-x^{2}} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
We simplify the result as far as possible, so as to make the second differentiation easier:
+
\frac{d^2}{dx^2}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
-
 
+
&= \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{d}{dx}\,\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2}\\[5pt]
-
<math>\begin{align}
+
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2-1}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'\\[5pt]
-
& =\frac{\sqrt{1-x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}} \\
+
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
-
& \\
+
&= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
-
& =\frac{\frac{\left( \sqrt{1-x^{2}} \right)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}} \\
+
&= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.}
-
& \\
+
\end{align}</math>}}
-
& =\frac{\frac{1-x^{2}+x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{1}{\left( 1-x^{2} \right)^{{3}/{2}\;}} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The second derivative is:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{d^{^{2}}}{dx^{^{2}}}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{d}{dx}\frac{1}{\left( 1-x^{2} \right)^{{3}/{2}\;}} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{d}{dx}\left( 1-x^{2} \right)^{-{3}/{2}\;}=-\frac{3}{2}\left( 1-x^{2} \right)^{-\frac{3}{2}-1}\centerdot \left( 1-x^{2} \right)^{\prime } \\
+
-
& \\
+
-
& =-\frac{3}{2}\left( 1-x^{2} \right)^{{-5}/{2}\;}\centerdot \left( -2x \right)=3x\left( 1-x^{2} \right)^{{-5}/{2}\;} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{3x}{\left( 1-x^{2} \right)^{{5}/{2}\;}} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir

ddxx1−x2=1−x22(x)1−x2−x1−x2=1−x211−x2−x1−x2.

Die Ableitung 1−x2  erhalten wir durch die Kettenregel.

=1−x21−x2−x121−x21−x2=1−x21−x2−x121−x2(−2x)

Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.

=1−x21−x2+x21−x2=1−x21−x21−x22+x21−x2=1−x21−x21−x2+x2=1(1−x2)32

Die zweite Ableitung ist

d2dx2x1−x2=ddx1(1−x2)32=ddx1−x2−32=−231−x2−32−11−x2=−231−x2−52(−2x)=3x1−x2−52=3x1−x252.
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.2:4a“