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Lösung 1.2:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
We are to differentiate the expression two times, so we start by differentiating once. The quotient rule gives
+
Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 7: Zeile 7:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
We determine the derivative <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> by using the chain rule
+
Die Ableitung <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> erhalten wir durch die Kettenregel.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
-
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{.}
+
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
We simplify the result as far as possible, so as to make the second differentiation easier,
+
Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 22: Zeile 22:
&= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
-
&= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{.}
+
&= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The second derivative is
+
Die zweite Ableitung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 34: Zeile 34:
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
&= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
&= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
-
&= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\textrm{.}
+
&= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir

ddxx1−x2=1−x22(x)1−x2−x1−x2=1−x211−x2−x1−x2.

Die Ableitung 1−x2  erhalten wir durch die Kettenregel.

=1−x21−x2−x121−x21−x2=1−x21−x2−x121−x2(−2x)

Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.

=1−x21−x2+x21−x2=1−x21−x21−x22+x21−x2=1−x21−x21−x2+x2=1(1−x2)32

Die zweite Ableitung ist

d2dx2x1−x2=ddx1(1−x2)32=ddx1−x2−32=−231−x2−32−11−x2=−231−x2−52(−2x)=3x1−x2−52=3x1−x252.
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