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Lösung 1.3:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
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Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab um die stationären Punkte zu finden,
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Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
&= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
&= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
&= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
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&= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{.}
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&= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Der Ausdruck ist null wenn der Zähler null ist, wir erhalten die Gleichung
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Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Die linke Seite ist null wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder
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Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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t^2 + 2t - 1 &= 0\,,\\[5pt]
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t^2 + 2t - 1 &= 0\,\\[5pt]
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(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,,\\[5pt]
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(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,\\[5pt]
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(t+1)^2 &= 2\,,
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(t+1)^2 &= 2\,
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur einer dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
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Die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
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Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,
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Die Funktion hat also drei stationäre Punkte; <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,
<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.
<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.
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Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon dass
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Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
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und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir,
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und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]
1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]
&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]
&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]
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&= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2
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&= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\,.
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
Die Ableitung ist also
Die Ableitung ist also
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>.}}
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Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren
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Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.
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Durch Ausmultiplizieren, erhalten das Vorzeichen der Ableitung.
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Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

Version vom 13:52, 20. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte mit f(x)=0,
  2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da der Nenner 1+x4 ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden.

f(x)=1+x421+x21+x4−1+x21+x4=1+x422x1+x4−1+x24x3=1+x422x+2x5−4x3−4x5=1+x422x1−2x2−x4

Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung

2x1−2x2−x4=0. 

Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren x oder 1−2x2−x4 null ist. Also ist x=0 oder

1−2x2−x4=0.

Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir t=x2 substituieren,

1−2t−t2=0.

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

t2+2t−1(t+1)2−12−1(t+1)2=0=0=2

Die Lösungen sind t=−12 . Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit x2 sein. Also ist t=−1+2=x2 .

Die Funktion hat also drei stationäre Punkte; x=−2−1 , x=0 und x=2−1 .

Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

f(x)=1+x422x1−2x2−x4

und durch quadratische Ergänzung von 1−2x2−x4 (als Gleichung in x2) erhalten wir

1−2x2−x4=1−2x2+x4=1−x2+12−12=2−x2+12

Die Ableitung ist also

f(x)=1+x422x2−x2+12.

Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.


x −2−1  0 2−1 
2x − − − 0 + + +
2−(x2+1)2 − 0 + + + 0 −
(x4+1)2 + + + + + + +

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.


x −2−1  0 2−1 
f(x) + 0 − 0 + 0 −
f(x) 21(2+1)  1 21(2+1) 

Die Funktion hat also ein lokales Maximum im Punkt x=2−1  ind ein lokales Minimum im Punkt x=0.

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