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Lösung 1.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
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Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens,
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Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
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und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben,
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und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
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{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
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Unser Problem ist dann
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Unser Problem ist dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
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::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
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Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.
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Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.
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Die Ableitung ist
Die Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
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Die zweite Ableitung ist
Die zweite Ableitung ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
und hat den Wert
und hat den Wert
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
im stationären Punkt.
im stationären Punkt.
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Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minimum.
Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minimum.
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Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minimum.
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Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minimum.
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Also ist die Fläche minimal wenn
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Also ist die Fläche minimal, wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt]
+
r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Version vom 14:33, 20. Aug. 2009

Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist

VolumeFläche=(Fläche der Basis)(Höhe)=r2h=(Fläche der Basis)+(Fläche des Zylinders)=r2+2rh.

Das Problem ist also: Minimiere die Fläche A=r2+2h, während das Volumen V=r2h konstant ist.

Wir schreiben h als Funktion des Volumens

h=Vr2

und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.

A=r2+2rVr2=r2+r2V

Unser Problem ist dann: Minimiere die Fläche A(r)=r2+r2V, wenn r0.

Die Funktion A(r) ist für alle r0 differenzierbar und der Bereich r0 hat keine Endpunkte (da r=0 nicht r0 erfüllt), also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.

Die Ableitung ist

A(r)=2r−r22V

Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung

2r−r22V=02r=r22Vr3=Vr=3V.

Die zweite Ableitung ist

A(r)=2+r34V

und hat den Wert

A3V=2+4VV=60 

im stationären Punkt.

Also ist r=3V  ein lokales Minimum.

Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn r0 oder wenn r. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen r0 und r, also ist r=3V  ein globales Minimum.

Also ist die Fläche minimal, wenn

rh=3Vund=Vr2=VV−23=V1−23=V13=3V. 
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