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Lösung 2.1:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{NAVCONTENT_START}}
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Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat
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<center> [[Image:2_1_5a-1(2).gif]] </center>
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<math>\sqrt{x+9}+\sqrt{x}</math> und mit der binomischen Formel erhalten wir
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<center> [[Image:2_1_5a-2(2).gif]] </center>
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\frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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&= \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}\\[5pt]
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&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{\bigl(\sqrt{x+9}\,\bigr)^2 - \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)^2}\\[5pt]
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&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{x+9-x}\\[5pt]
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&= \frac{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}{9}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Also ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,</math>}}
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mit der Stammfunktion:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx
 +
&= \frac{1}{9}\biggl(\frac{(x+9)^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} + \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1} \biggr)+C\\[5pt]
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&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{(x+9)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} \Bigr)+C\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{9}\Bigl(\frac{2}{3}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \Bigr)+C\\[5pt]
 +
&= \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2}+C\,,
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\end{align}</math>}}
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wobei C eine beliebige Konstante ist.
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Dies ist dasselbe wie
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}</math>}}
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Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{d}{dx}\Bigl( \frac{2}{27}(x+9)^{3/2} + \frac{2}{27}x^{3/2} + C \Bigr)
 +
&= \frac{2}{27}\cdot \frac{3}{2}(x+9)^{3/2-1} + \frac{2}{27}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1} + 0\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{9}(x+9)^{1/2} + \frac{1}{9}x^{1/2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat x+9+x  und mit der binomischen Formel erhalten wir

1x+9−x=1x+9−xx+9+xx+9+x=x+9+xx+92−x2=x+9−xx+9+x=9x+9+x.

Also ist

dxx+9−x=91x+9+xdx. 

Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir

91(x+9)12+x12dx 

mit der Stammfunktion:

91(x+9)12+x12dx=9121+1(x+9)12+1+21+1x12+1+C=9132(x+9)32+32x32+C=9132(x+9)32+32x32+C=227(x+9)32+227x32+C

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Dies ist dasselbe wie

227(x+9)x+9+227xx+C. 


Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.

ddx227(x+9)32+227x32+C=22723(x+9)32−1+22723x32−1+0=91(x+9)12+91x12.
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