Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 2.1:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (11:28, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
If we multiply top and bottom of the fraction by the conjugate expression
+
Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat
-
<math>\sqrt{x+9}+\sqrt{x}</math> then the formula for the difference of two squares gives that denominator's root is squared away,
+
<math>\sqrt{x+9}+\sqrt{x}</math> und mit der binomischen Formel erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 10: Zeile 10:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Thus,
+
Also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-
If we write the square roots in power form,
+
Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,</math>}}
-
we see that we have a standard integral and can write down the primitive functions directly,
+
mit der Stammfunktion:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 28: Zeile 28:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
where C is an arbitrary constant.
+
wobei C eine beliebige Konstante ist.
-
This can also be written with square roots as
+
Dies ist dasselbe wie
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{27}(x+9)\sqrt{x+9} + \frac{2}{27}x\sqrt{x} + C\,\textrm{.}</math>}}
-
Note: To be completely certain that we have done everything correctly, we differentiate the answer and see if we get back the integrand,
+
Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat x+9+x  und mit der binomischen Formel erhalten wir

1x+9−x=1x+9−xx+9+xx+9+x=x+9+xx+92−x2=x+9−xx+9+x=9x+9+x.

Also ist

dxx+9−x=91x+9+xdx. 

Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir

91(x+9)12+x12dx 

mit der Stammfunktion:

91(x+9)12+x12dx=9121+1(x+9)12+1+21+1x12+1+C=9132(x+9)32+32x32+C=9132(x+9)32+32x32+C=227(x+9)32+227x32+C

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Dies ist dasselbe wie

227(x+9)x+9+227xx+C. 


Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.

ddx227(x+9)32+227x32+C=22723(x+9)32−1+22723x32−1+0=91(x+9)12+91x12.
Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:5a“