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Lösung 2.1:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (11:28, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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also ist
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Also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} = \frac{1}{9}\int\bigl(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\,\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir
Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}\int\bigl((x+9)^{1/2} + x^{1/2}\bigr)\,dx\,</math>}}
mit der Stammfunktion:
mit der Stammfunktion:

Aktuelle Version

Wir erweitern den Bruch mit den Konjugat x+9+x  und mit der binomischen Formel erhalten wir

1x+9−x=1x+9−xx+9+xx+9+x=x+9+xx+92−x2=x+9−xx+9+x=9x+9+x.

Also ist

dxx+9−x=91x+9+xdx. 

Schreiben wir die Wurzeln als Potenzen, erhalten wir

91(x+9)12+x12dx 

mit der Stammfunktion:

91(x+9)12+x12dx=9121+1(x+9)12+1+21+1x12+1+C=9132(x+9)32+32x32+C=9132(x+9)32+32x32+C=227(x+9)32+227x32+C

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Dies ist dasselbe wie

227(x+9)x+9+227xx+C. 


Hinweis: Um zu testen, ob wir richtig gerechnet haben, leiten wir unsere Funktion ab und vergleichen mit dem Integrand.

ddx227(x+9)32+227x32+C=22723(x+9)32−1+22723x32−1+0=91(x+9)12+91x12.
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