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Lösung 2.2:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
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A substitution of variables is often carried out so as to transform a complicated integral to one that is less complicated which one can either directly calculate or continue to work with.
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Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.
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When we carry out a substitution of variables <math>u=u(x)</math>, there are three things which are affected in the integral:
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Wenn wir die Substitution <math>u=u(x)</math> durchführen, müssen wir folgendes bedenken:
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# the integral must be rewritten in terms of the new variable <math>u</math>;
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# Das Integral muss mit der neuen Variable <math>u</math> umgeschrieben werden.
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# the element of integration, <math>dx</math>, is replaced by <math>du</math>, according to the formula <math>du=u'(x)\,dx</math>;
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# <math>dx</math> muss mit <math>du</math> ersetzt werden, indem <math>du=u'(x)\,dx</math>.
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# the limits of integration are for <math>x</math> and must be changed to limits of integration for the variable <math>u</math>.
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# Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable <math>u</math> angepasst werden.
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In this case, we will perform the change of variables <math>u=3x-1</math>, mainly because the integrand <math>1/(3x-1)^4</math> will then be replaced by <math>1/u^4</math>.
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In diesem Fall machen wir die Substitution <math>u=3x-1</math>, da <math>1/(3x-1)^4</math> mit <math>1/u^4</math> ersetzt wird und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.
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The relation between <math>dx</math> and <math>du</math> reads
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Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
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which means that <math>dx</math> is replaced by <math>\tfrac{1}{3}\,du</math>.
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also ersetzen wir <math> dx </math> mit <math>\tfrac{1}{3} du</math>.
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Furthermore, when <math>x=1</math> in the lower limit of integration, the corresponding ''u''-value becomes <math>u=3\cdot 1-1=2</math>, and when
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Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze
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<math>x=2</math>, we obtain the ''u''-value <math>u=3\cdot 2-1=5\,</math>.
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<math>x=2</math> entspricht <math>u=3\cdot 2-1=5\,</math>.
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One usually writes the whole substitution of variables as
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Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \left\{ \begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \left\{ \begin{align}
u &= 3x-1\\[5pt]
u &= 3x-1\\[5pt]
du &= 3\,dx
du &= 3\,dx
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\end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
+
\end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,</math>}}
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Sometimes, we are more brief and hide the details,
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oder weniger detailliert
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
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After the substitution of variables, we have a standard integral which is easy to compute.
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Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet
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In summary, the whole calculation is,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.

Wenn wir die Substitution u=u(x) durchführen, müssen wir folgendes bedenken:

  1. Das Integral muss mit der neuen Variable u umgeschrieben werden.
  2. dx muss mit du ersetzt werden, indem du=u(x)dx.
  3. Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable u angepasst werden.

In diesem Fall machen wir die Substitution u=3x−1, da 1(3x−1)4 mit 1u4 ersetzt wird und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.

Das Verhältnis zwischen dx und du lautet

du=u(x)dx=(3x−1)dx=3dx

also ersetzen wir dx mit 31du.

Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze x=1, u=31−1=2. Die obere Integrationsgrenze x=2 entspricht u=32−1=5.

Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du 

oder weniger detailliert

21dx(3x−1)4=u=3x−1=52u431du. 

Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du=3152u−4du=31 u−4+1−4+1 52=−91 1u3 52=−91153−123=−91235323−53=117322353=3213322353=132353=131000.
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