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Lösung 2.2:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.
Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.
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Wenn wir die Substitution <math>u=u(x)</math> machen, müssen wir folgendes bedenken:
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Wenn wir die Substitution <math>u=u(x)</math> durchführen, müssen wir folgendes bedenken:
# Das Integral muss mit der neuen Variable <math>u</math> umgeschrieben werden.
# Das Integral muss mit der neuen Variable <math>u</math> umgeschrieben werden.
Zeile 7: Zeile 7:
# Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable <math>u</math> angepasst werden.
# Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable <math>u</math> angepasst werden.
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In diesem Fall machen wir die Substitution <math>u=3x-1</math>, nachdem <math>1/(3x-1)^4</math> mit <math>1/u^4</math> ersetzt wird, und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.
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In diesem Fall machen wir die Substitution <math>u=3x-1</math>, da <math>1/(3x-1)^4</math> mit <math>1/u^4</math> ersetzt wird und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.
Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
Zeile 13: Zeile 13:
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (3x-1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
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und also ersetzen wir<math> dx </math> mit <math>\tfrac{1}{3}\du</math>.
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also ersetzen wir <math> dx </math> mit <math>\tfrac{1}{3} du</math>.
Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze
Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze <math>x=1</math>, <math>u=3\cdot 1-1=2</math>. Die obere Integrationsgrenze
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<math>x=2</math>, entspricht <math>u=3\cdot 2-1=5\,</math>.
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<math>x=2</math> entspricht <math>u=3\cdot 2-1=5\,</math>.
Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens
Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens
Zeile 23: Zeile 23:
u &= 3x-1\\[5pt]
u &= 3x-1\\[5pt]
du &= 3\,dx
du &= 3\,dx
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\end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
+
\end{align} \right\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,</math>}}
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oder weniger detailliert,
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oder weniger detailliert
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^2 \frac{dx}{(3x-1)^4} = \bigl\{ u=3x-1 \bigr\} = \int\limits_2^5 \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{u^4}\,\textrm{.}</math>}}
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Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet;
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Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Durch eine Substitution können wir ein kompliziertes Integral in vielen Fällen in ein einfacheres Integral bringen.

Wenn wir die Substitution u=u(x) durchführen, müssen wir folgendes bedenken:

  1. Das Integral muss mit der neuen Variable u umgeschrieben werden.
  2. dx muss mit du ersetzt werden, indem du=u(x)dx.
  3. Die Integrationsgrenzen müssen an die neue Variable u angepasst werden.

In diesem Fall machen wir die Substitution u=3x−1, da 1(3x−1)4 mit 1u4 ersetzt wird und dieser Ausdruck einfacher zu integrieren ist.

Das Verhältnis zwischen dx und du lautet

du=u(x)dx=(3x−1)dx=3dx

also ersetzen wir dx mit 31du.

Weiterhin entspricht die untere Integrationsgrenze x=1, u=31−1=2. Die obere Integrationsgrenze x=2 entspricht u=32−1=5.

Die Schreibweise für die Variabelsubstitution ist meistens

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du 

oder weniger detailliert

21dx(3x−1)4=u=3x−1=52u431du. 

Nach der Substitution erhalten wir ein einfaches Integral. Die ganze Rechnung lautet

21dx(3x−1)4=udu=3x−1=3dx=52u431du=3152u−4du=31 u−4+1−4+1 52=−91 1u3 52=−91153−123=−91235323−53=117322353=3213322353=132353=131000.
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