Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösung 2.2:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 3: Zeile 3:
Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
Das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> lautet
-
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,</math>}}
-
oder,
+
oder
{{Abgesetzte Formel||<math>x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
-
Nachdem <math>x\,dx</math> ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> direkt ausführen,
+
Da <math>x\,dx</math> ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> direkt ausführen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}
u &= x^2+3\\[5pt]
u &= x^2+3\\[5pt]
du &= 2x\,dx
du &= 2x\,dx
-
\end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
+
\end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du</math>}}
-
Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen,
+
Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C</math>}}
-
Wir schreiben nun die Antwort in der Variable <math>x</math> indem wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> ausführen,
+
Wir schreiben nun die Antwort in der Variable <math>x</math>, indem wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> ausführen
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,</math>}}
-
Wo <math>C</math> eine beliebige Konstante ist.
+
<math>C</math> ist dabei eine beliebige Konstante.
-
Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir <math>\tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C</math> ableiten, und sehen ob wir <math>(x^2+3)^5x\,</math> erhalten.
+
Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir <math>\tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C</math> ableiten und sehen, ob wir <math>(x^2+3)^5x\,</math> erhalten.

Version vom 11:54, 27. Aug. 2009

Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable x gehen.

Das Verhältnis zwischen dx und du lautet

du=u(x)dx=(x2+3)dx=2xdx

oder

xdx=21du.

Da xdx ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution u=x2+3 direkt ausführen.

(x2+3)5xdx=udu=x2+3=2xdx=u521du 

Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.

21u5du=216u6+C 

Wir schreiben nun die Antwort in der Variable x, indem wir die Substitution u=x2+3 ausführen

(x2+3)5xdx=12(x2+3)6+C 

C ist dabei eine beliebige Konstante.

Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir 112(x2+3)6+C ableiten und sehen, ob wir (x2+3)5x erhalten.

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:1b“