Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable <math>x</math> gehen.
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-	<center> [[Image:2_2_1b-2(2).gif]] </center>	+	{{Abgesetzte Formel||<math>du = u'(x)\,dx = (x^2+3)'\,dx = 2x\,dx\,</math>}}
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		+	oder
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Da <math>x\,dx</math> ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> direkt ausführen.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \left\{\begin{align}
		+	u &= x^2+3\\[5pt]
		+	du &= 2x\,dx
		+	\end{align}\right\} = \int u^5\cdot\tfrac{1}{2}\,du</math>}}
		+
		+	Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C</math>}}
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		+	Wir schreiben nun die Antwort in der Variable <math>x</math>, indem wir die Substitution <math>u=x^{2}+3</math> ausführen.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\int (x^2+3)^5x\,dx = \frac{(x^2+3)^6}{12}+C\,</math>}}
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		+	<math>C</math> ist dabei eine beliebige Konstante.
		+
		+	Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir <math>\tfrac{1}{12}( x^{2}+3)^6+C</math> ableiten und sehen, ob wir <math>(x^2+3)^5x\,</math> erhalten.

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Aktuelle Version

Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, besteht kein Bedarf die Grenzen zu ändern. Wir müssen aber nach der Integration wieder zurück zu der Variable x gehen.

Das Verhältnis zwischen dx und du lautet

du=u(x)dx=(x2+3)dx=2xdx

oder

xdx=21du.

Da xdx ein Faktor im Integrand ist, können wir die Substitution u=x2+3 direkt ausführen.

(x2+3)5xdx=udu=x2+3=2xdx=u521du

Dies ist nun ein Standardintegral, das wir direkt berechnen.

21u5du=216u6+C

Wir schreiben nun die Antwort in der Variable x, indem wir die Substitution u=x2+3 ausführen.

(x2+3)5xdx=12(x2+3)6+C

C ist dabei eine beliebige Konstante.

Hinweis: Wir können natürlich unsere Rechnungen überprüfen, indem wir 112(x2+3)6+C ableiten und sehen, ob wir (x2+3)5x erhalten.