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Lösung 2.2:3e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (12:45, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
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If we differentiate the denominator in the integrand
+
Die Ableitung des Nenners ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+1)' = 2x</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2+1)' = 2x</math>.}}
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we obtain almost the same expression as in the numerator; there is a constant 2 which is different. We therefore rewrite the numerator as
+
Dies entspricht fast dem Zähler. Wir schreiben den Zähler wie
{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3x = \frac{3}{2}\cdot 2x = \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)',</math>}}
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so the integral can be written as
+
sodass wir das folgende Integral erhalten
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{\tfrac{3}{2}}{x^2+1}\cdot (x^{2}+1)'\,dx\,</math>.}}
-
and we see that the substitution <math>u=x^2+1</math> can be used to simplify the integral,
+
Wir sehen hier, dass die Substitution <math>u=x^2+1</math> günstig ist.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 22: Zeile 22:
&= \frac{3}{2}\ln |u|+C\\[5pt]
&= \frac{3}{2}\ln |u|+C\\[5pt]
&= \frac{3}{2}\ln |x^{2}+1|+C\\[5pt]
&= \frac{3}{2}\ln |x^{2}+1|+C\\[5pt]
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&= \frac{3}{2}\ln (x^{2}+1) + C\,\textrm{.}
+
&= \frac{3}{2}\ln (x^{2}+1) + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
In the last step, we take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math>, because <math>x^2+1</math> is always greater than or equal to 1.
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Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, da <math>x^2+1</math> immer positiv ist.

Aktuelle Version

Die Ableitung des Nenners ist

(x2+1)=2x.

Dies entspricht fast dem Zähler. Wir schreiben den Zähler wie

3x=232x=23(x2+1)

sodass wir das folgende Integral erhalten

23x2+1(x2+1)dx .

Wir sehen hier, dass die Substitution u=x2+1 günstig ist.

3xx2+1dx=udu=x2+1=(x2+1)dx=2xdx=23udu=23lnu+C=23lnx2+1+C=23ln(x2+1)+C

Im letzten Schritt haben wir das Betragszeichen weggelassen, da x2+1 immer positiv ist.

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